Modelo de transporte de contaminantes: PL

El estudio de los fenómenos de transporte de solutos y de la mezcla en ríos se ha convertido en una preocupación importante en problemas hidráulicos y ambientales. RiverFlow2D Pollutant Transport Model proporciona una herramienta para calcular las concentraciones de múltiples contaminantes en una variedad de situaciones fluviales y estuarinas.

Un soluto o contaminante se define como cualquier sustancia que es transportada por el agua y está bien mezclada en la dirección vertical. El interés de simular el transporte de contaminantes suele centrarse en determinar la evolución temporal de la concentración de un soluto dentro de un sistema hidrodinámico complejo, es decir, dada la concentración del soluto en un momento y espacio específicos, el modelo determina la distribución espacial de las concentraciones del soluto para tiempos futuros. Este proceso físico se tiene en cuenta mediante la ecuación de advección-dispersión y puede incorporar el efecto de la reacción con el agua y con otros solutos.

Ecuaciones del modelo

Aunque RiverFlow2D PL puede manejar múltiples contaminantes simultáneamente, para mayor claridad en esta sección se presenta el transporte de un solo soluto acoplado al modelo 2D. Las ecuaciones de transporte de contaminantes se expresarán en forma conservativa, suponiendo que las velocidades y la profundidad del agua pueden no variar suavemente en el espacio y el tiempo.

En consecuencia, el modelo de aguas someras 2D con transporte de solutos puede escribirse en un único sistema acoplado:

\[\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}+\frac{\partial \mathbf{F} \mathbf{(U)}}{\partial x}+\frac{\partial \mathbf{G} \mathbf{(U)}}{\partial y}=\mathbf{H(U)} + \mathbf{R(U)} + \mathbf{D(U)}\]

donde

\[\begin{array}{c} \mathbf{U}=\left( h , q_x , q_y , h\phi \right)^{T} \quad \\\\ \mathbf{F}=\left( q_x, \frac {q_x2}{h} + \frac {1}{2} g h2 , \frac {q_x q_y}{h} , h \phi u \right)^{T}, \qquad \mathbf{G}=\left( q_y, \ \frac {q_x q_y}{h}, \ \frac {q_y2}{h} + \frac {1}{2} g h2 , \ h \phi v \right)^{T} \\\\ \mathbf{H}=\left( 0 , \; g h (S_{0x}-S_{fx}) , \; g h (S_{0y}-S_{fy}) , \; 0\right)^{T} \\ \end{array}\]

y \(\phi\) es la concentración de soluto promediada en profundidad. Los términos fuente asociados a la ecuación de transporte de solutos se expresan de la siguiente manera:

\[\mathbf{R}=\left( 0 , 0, 0, -Kh\phi\right)^{T} \qquad \mathbf{D}=\left( 0 , 0, 0, \overrightarrow{\nabla}(D h \overrightarrow{\nabla} \phi) \right)^{T}\]

donde \(K\) es la constante de absorción y \(D\) es una matriz de difusión empírica.

Solución numérica del transporte de contaminantes mediante volúmenes finitos

En RiverFlow2D, el transporte de solutos se ha considerado dejando de lado la consideración relativa a los términos de difusión. Sin embargo, se han desarrollado muchas estrategias, como dividir y calcular por separado los términos de advección y difusión, o resolver la difusión implícitamente, para evitar valores pequeños en el tamaño del paso temporal debido a la combinación del número CFL y el número de Peclet.

La resolución numérica de la ecuación de transporte de solutos mediante un método explícito de volúmenes finitos se realiza frecuentemente resolviendo la concentración promediada en profundidad aparte de las ecuaciones de aguas someras, es decir, utilizando un algoritmo desacoplado más sencillo. Una vez resueltas las ecuaciones hidrodinámicas, las sustancias o solutos correspondientes son transportados por advección con este campo de flujo previamente calculado.

Para obtener un método totalmente conservativo, RiverFlow2D considera el sistema completo, incluidas las ecuaciones hidrodinámicas y de transporte. Matemáticamente, el sistema completo conserva la propiedad de hiperbolicidad, lo que implica la existencia de una matriz jacobiana de \(4 \times 4\) para el modelo 2D. Sobre esta base podemos aplicar el procedimiento directo descrito anteriormente, permitiendo una linealización local de Roe y expresando las contribuciones que llegan a la celda como una suma de ondas. Para garantizar la conservación y valores acotados en la concentración final de solutos incluso en casos extremos, se implementó en RiverFlow2D una redistribución conservativa de los flujos máximos de soluto, tal como se propuso en.

De acuerdo con , una vez formulada correctamente la parte hidrodinámica, se utiliza un flujo numérico simple \(q^\downarrow\), directamente relacionado con la linealización de Roe, que es capaz de desacoplar completamente el transporte de solutos del sistema hidrodinámico de forma conservativa. Por lo tanto,

\[q^\downarrow_{k} = q_i + \sum_{m=1}^3 \left(\widetilde{\lambda}^- \ \widetilde{\gamma} \ \widetilde{\mathbf{e}}_1 \right)^m_{k}\]

donde \(q_i=(h \mathbf{u n})_i\) y el esquema numérico desacoplado para la ecuación de transporte de solutos se escribe como:

\[(h\phi)^{n+1}_{i} = (h\phi)^{n}_{i} - \frac{\Delta t }{A_i } \sum_{k=1}^{N_E} ( q \phi)^{\downarrow}_{k} l_k\]

donde

\[\phi^\downarrow_{k}=\left\{ \begin{array} {ccc} \phi_{i} & si & q_k^\downarrow > 0\\ \phi_{j} & si & q_k^\downarrow < 0 \end{array} \right.\]

en la celda \(i\). Las figuras siguientes muestran esquemas de los flujos.

Desde un punto de vista físico, la nueva masa de soluto en una celda fija puede considerarse como un intercambio de volúmenes de agua con una concentración determinada a través de las paredes vecinas y su mezcla (método de tipo Godunov de volúmenes finitos) con la masa anterior existente en el tiempo previo. De acuerdo con esta filosofía, las celdas de contorno de salida requerirán un tratamiento especial al aplicar esta técnica para extraer la masa de soluto correspondiente a través de las paredes de contorno. Por esta razón, es necesario definir \(q^{\downarrow}=\left(h\bf{u}\cdot\bf{n}\right)_{BC}\) y \(\phi^{\downarrow}=\phi_{BC}\) en la pared de contorno e incluir esta contribución para actualizar la celda de contorno BC.

Como se muestra, la formulación se reduce a calcular una clase de flujo numérico \(q^{\downarrow}\) utilizando los valores medios ya calculados en cada arista. Además de garantizar una conservación perfecta y soluciones acotadas y libres de oscilaciones (Murillo et al, 2012), esta sencilla discretización reduce sustancialmente el número de cálculos que serían necesarios para el sistema acoplado completo.

Introducción de datos para el modelo de transporte de contaminantes

Para introducir datos para una simulación de transporte de contaminantes, utilice el panel Pollutant Transport. Asegúrese también de que la casilla de verificación Pollutant Transport esté activa en la pestaña Control Data.

Supuestos del modelo de transporte de contaminantes

Los principales supuestos involucrados en la versión actual del modelo RiverFlow2D son:

1. No existe un límite predeterminado para el número de contaminantes.
2. Las unidades de concentración de los contaminantes son arbitrarias. El usuario puede utilizar concentración en volumen, mg/l, ppt, ppm o cualquier otra unidad adecuada, siempre que las condiciones de contorno de entrada sean coherentes.
3. Se supone que la interacción entre solutos y entre cada soluto y el agua corresponde a reacciones de primer orden.
4. Todos los contornos de entrada donde se imponga el caudal o la elevación del agua deben proporcionar una serie temporal de concentraciones para cada contaminante.