Modelo de transporte de contaminantes: PL

El estudio de los fenómenos de transporte de solutos y de la mezcla en ríos se ha vuelto muy importante en problemas hidráulicos y ambientales. El modelo de transporte de contaminantes de OilFlow2D proporciona una herramienta para calcular las concentraciones de múltiples contaminantes en una variedad de situaciones fluviales y estuarinas.

Un soluto o contaminante se define como cualquier sustancia que es advectada por el agua y está bien mezclada en la dirección vertical. El interés de simular el transporte de contaminantes suele centrarse en determinar la evolución temporal de la concentración de un soluto dentro de un sistema hidrodinámico complejo; es decir, dada la concentración de la solución en un tiempo y espacio específicos, el modelo determina la distribución espacial de las concentraciones del soluto para tiempos futuros. Este proceso físico se representa mediante la ecuación de advección-dispersión, que puede incorporar el efecto de la reacción con el agua y con otros solutos.

Ecuaciones del modelo

Aunque OilFlow2D PL puede manejar múltiples contaminantes simultáneamente, para mayor claridad en esta sección se presenta el transporte de un solo soluto acoplado al modelo 2D. Las ecuaciones de transporte del contaminante se expresarán en forma conservativa, suponiendo que las velocidades y la profundidad del agua pueden no variar suavemente en el espacio y el tiempo.

En consecuencia, el modelo 2D de aguas someras con transporte de solutos puede escribirse como un sistema acoplado único:

\[\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}+\frac{\partial \mathbf{F} \mathbf{(U)}}{\partial x}+\frac{\partial \mathbf{G} \mathbf{(U)}}{\partial y}=\mathbf{H(U)} + \mathbf{R(U)} + \mathbf{D(U)}\]

donde

\[\begin{array}{c} \mathbf{U}=\left( h , q_x , q_y , h\phi \right)^{T} \quad \\\\ \mathbf{F}=\left( q_x, \frac {q_x2}{h} + \frac {1}{2} g h2 , \frac {q_x q_y}{h} , h \phi u \right)^{T}, \qquad \mathbf{G}=\left( q_y, \ \frac {q_x q_y}{h}, \ \frac {q_y2}{h} + \frac {1}{2} g h2 , \ h \phi v \right)^{T} \\\\ \mathbf{H}=\left( 0 , \; g h (S_{0x}-S_{fx}) , \; g h (S_{0y}-S_{fy}) , \; 0\right)^{T} \\ \end{array}\]

y \(\phi\) es la concentración de soluto promediada en profundidad. Los términos fuente asociados con la ecuación de transporte del soluto se expresan como sigue:

\[\mathbf{R}=\left( 0 , 0, 0, -Kh\phi\right)^{T} \qquad \mathbf{D}=\left( 0 , 0, 0, \overrightarrow{\nabla}(D h \overrightarrow{\nabla} \phi) \right)^{T}\]

donde \(K\) es la constante de absorción y \(D\) es una matriz de difusión empírica.

Solución numérica de volumen finito para el transporte de contaminantes

En OilFlow2D, el transporte de solutos se ha considerado dejando de lado los términos de difusión. Sin embargo, se han desarrollado estrategias como dividir y calcular por separado los términos de advección y difusión, o resolver la difusión implícitamente, para evitar valores pequeños en el tamaño del paso temporal debidos a la combinación del número CFL y el número de Peclet.

La resolución numérica de la ecuación de transporte de solutos mediante un método explícito de volúmenes finitos se realiza con frecuencia resolviendo la concentración promediada en profundidad por separado de las ecuaciones de aguas someras; es decir, mediante un algoritmo desacoplado más sencillo. Una vez resueltas las ecuaciones hidrodinámicas, las sustancias o solutos correspondientes son advectados con este campo de flujo previamente calculado.

Para obtener un método totalmente conservativo, OilFlow2D considera el sistema completo, incluidas las ecuaciones hidrodinámicas y de transporte. Matemáticamente, el sistema completo conserva la propiedad de hiperbolicidad, lo que implica la existencia de una matriz jacobiana de \(4 \times 4\) para el modelo 2D. Sobre esta base se puede aplicar el procedimiento directo descrito anteriormente, permitiendo una linealización local de Roe y expresando las contribuciones que llegan a la celda como una suma de ondas. Para garantizar la conservación y valores acotados en la concentración final del soluto incluso en casos extremos, en OilFlow2D se implementó una redistribución conservativa de los flujos máximos de soluto, como se propuso en la referencia correspondiente.

Según la referencia correspondiente, una vez formulada correctamente la parte hidrodinámica se utiliza un flujo numérico simple \(q^\downarrow\), directamente relacionado con la linealización de Roe, que puede desacoplar completamente el transporte de solutos del sistema hidrodinámico de forma conservativa. Por tanto,

\[q^\downarrow_{k} = q_i + \sum_{m=1}^3 \left(\widetilde{\lambda}^- \ \widetilde{\gamma} \ \widetilde{\mathbf{e}}_1 \right)^m_{k}\]

donde \(q_i=(h \mathbf{u n})_i\) y el esquema numérico desacoplado para la ecuación de transporte de solutos se escribe como:

\[(h\phi)^{n+1}_{i} = (h\phi)^{n}_{i} - \frac{\Delta t }{A_i } \sum_{k=1}^{N_E} ( q \phi)^{\downarrow}_{k} l_k\]

donde

\[\phi^\downarrow_{k}=\left\{ \begin{array} {ccc} \phi_{i} & if & q_k^\downarrow > 0\\ \phi_{j} & if & q_k^\downarrow < 0 \end{array} \right.\]

en la celda \(i\). En la figura se muestra un esquema de los flujos.

Desde un punto de vista físico, la nueva masa de soluto en una celda fija puede interpretarse como el intercambio de volúmenes de agua con cierta concentración a través de las paredes vecinas y su mezcla (método de tipo Godunov de volúmenes finitos) con la masa anterior existente en el tiempo previo (Figura ). Según esta filosofía, las celdas de contorno de salida requieren un tratamiento especial al aplicar esta técnica para extraer la masa de soluto correspondiente a través de las paredes de contorno. Por este motivo, es necesario definir \(q^{\downarrow}=\left(h\bf{u}\cdot\bf{n}\right)_{BC}\) y \(\phi^{\downarrow}=\phi_{BC}\) en la pared de contorno e incluir esta contribución al actualizar la celda de contorno BC (véase la Figura ).

Como se muestra, la formulación se reduce a calcular una clase de flujo numérico \(q^{\downarrow}\) usando los valores promediados ya calculados en cada borde. Además de garantizar una conservación perfecta y soluciones acotadas y libres de oscilaciones (Murillo et al., 2012), esta discretización sencilla reduce sustancialmente el número de cálculos necesarios para el sistema acoplado completo.

Introducción de datos para el modelo de transporte de contaminantes

Para introducir datos para una simulación de transporte de contaminantes, utilice el panel Pollutant Transport. Asegúrese también de que la casilla de verificación Pollutant Transport esté activa en la pestaña Control Data.

Supuestos del modelo de transporte de contaminantes

Los principales supuestos de la versión actual del modelo OilFlow2D son:

1. No existe un límite predeterminado para el número de contaminantes.
2. Las unidades de concentración del contaminante son arbitrarias. El usuario puede utilizar concentración en volumen, mg/l, ppt, ppm o cualquier otra unidad adecuada, siempre que las condiciones de contorno de entrada sean coherentes.
3. Se supone que las interacciones entre solutos y entre cada soluto y el agua son reacciones de primer orden.
4. Todos los contornos de entrada donde se imponga un caudal o una elevación del agua deben proporcionar una serie temporal de concentración para cada contaminante.