Modelo de flujo de lodos y relaves: MT¶
Las inundaciones de lodo, detritos o relaves son fenómenos de flujo superficial altamente no estacionarios en los que el fluido presenta un comportamiento no newtoniano compresible, incluidos mecanismos de detención y reanudación. Las propiedades globales de los fluidos corresponden a una mezcla hiperconcentrada de agua y sedimentos, con gradientes importantes de concentración de la fase sólida. La resistencia global del flujo de lodo o relaves depende de la importancia relativa de los esfuerzos cortantes originados por distintas fuentes que, además del esfuerzo cortante turbulento en el contorno del cauce, incluyen el esfuerzo viscoso, el esfuerzo de fluencia, el esfuerzo dispersivo y las colisiones inelásticas de partículas sólidas dentro de la mezcla fluida.
El módulo MT de HydroBID Flood incluye dos modelos. El primero es el Constant-Properties Fixed-Bed Model (CP-FB), que considera un fluido homogéneo con densidad, viscosidad, esfuerzo de fluencia y ángulo de fricción constantes, cuya concentración volumétrica de sedimentos no cambia con el tiempo ni el espacio. La segunda opción es el Variable-Properties Movable-Bed Two-Phase Model (VP-MB), en el que la fase sólida está compuesta por varias clases granulométricas. Este modelo incluye densidad global transitoria, viscosidad y esfuerzo de fluencia variables en el espacio y el tiempo, presión dinámica del fluido intersticial que afecta al mecanismo de detención, y arrastre o deposición de material desde o hacia el lecho móvil subyacente.
Modelo de flujo de lodo Constant-Properties Fixed-Bed (CP-FB)¶
El modelo matemático adoptado en el modelo CP-FB se basa en el de , considerando condiciones de lecho fijo y la resistencia basal para flujo de superficie libre, desde agua clara hasta mezclas hiperconcentradas de sedimentos.
El modelo CP-FB supone lo siguiente:
- El flujo está confinado a una capa delgada en comparación con la escala horizontal de interés.
- El flujo está gobernado por la ecuación , cuyos términos de resistencia se evalúan como se explica a continuación.
- La mezcla de agua y sedimentos se describe mediante el enfoque continuo, sin distinguir entre las fases líquida y sólida.
- El lecho del río no se erosiona; por tanto, no es posible el arrastre ni la deposición de material.
- Se supone que el fluido es una mezcla monofásica homogénea de agua y sedimento, con propiedades constantes, como densidad, viscosidad, esfuerzo de fluencia, ángulo de fricción basal, etc. La presión del fluido intersticial también se considera hidrostática.
- El sistema de coordenadas de referencia es horizontal-vertical y las fuerzas de presión y esfuerzo actúan en la dirección horizontal.
Modelo de flujo bifásico Variable-Properties Movable-Bed (VP-MB)¶
El modelo bifásico VP-MB para el flujo de lodo o relaves se basa en el de y supone lo siguiente:
- Enfoque de flujo poco profundo: el flujo está confinado a una capa delgada en comparación con las escalas horizontales de interés, lo que conduce a suponer una presión global hidrostática.
- Flujo multicomponente: la mezcla de agua y partículas de sedimento se describe mediante el enfoque continuo y se supone la misma velocidad para las fases líquida y sólida.
- Las distintas clases granulométricas de sedimento presentes en el flujo se distribuyen uniformemente en la columna de flujo.
- El sistema de coordenadas de referencia es horizontal-vertical, pero las fuerzas de presión y esfuerzo actúan en la dirección tangente a la superficie del lecho.
- En la fase líquida pueden desarrollarse presiones dinámicas del fluido intersticial, que afectan al esfuerzo cortante de fricción entre los granos sólidos.
El modelo bidimensional de flujo de lodo o relaves sobre un lecho erosionable consta de \(3+N+1\) ecuaciones diferenciales parciales, incluidas las ecuaciones promediadas en profundidad de conservación de masa y cantidad de movimiento de la mezcla de agua y sedimentos:
la ecuación de continuidad para cada clase granulométrica de sedimento \(p=1,...,N\), expresada como:
así como la ecuación de conservación de masa de la capa del lecho, considerando \(N\) clases granulométricas de sedimento:
donde \(\rho\) es la densidad global de la mezcla, \(h\) es la profundidad del flujo, \((u,\,v)\) son las componentes del vector de velocidad del flujo promediado en profundidad \(\mathbf{u}\) a lo largo de las coordenadas \(x\) e \(y\), respectivamente, \(\phi_p\) representa la concentración volumétrica promediada en profundidad de la \(p\)-ésima clase granulométrica de sedimento, y \(N\) es el número de clases granulométricas transportadas. Las componentes \((\tau_{bx},\,\tau_{by})\) del vector de resistencia basal \(\bm{\tau_b}\) son las componentes de dicho vector a lo largo de las coordenadas \(x\) e \(y\), respectivamente. Además, \(z_b\) es la elevación del lecho, \(\xi_p\) es la porosidad de deposición de la \(p\)-ésima clase de sedimento y \(\rho_{b,p}\) es la densidad global asociada en la capa del lecho; \(D_p\) y \(E_p\) son, respectivamente, las tasas específicas de intercambio por deposición y arrastre de cada tamaño; y \(g_{\psi} = g \cos^2{\psi}\) es la proyección de la gravedad normal al lecho, donde \(g\) es la aceleración gravitacional y \(\cos{\psi}\) es el coseno director de la normal al lecho respecto del eje vertical.
En consecuencia, la densidad global normalizada \(r\) viene dada por:
donde \(\phi^{\chi}\) es la concentración sólida boyante, \(\rho_w\) es la densidad del agua intersticial y \(\rho_{s,p}\) es la densidad de las partículas de sedimento de cada clase granulométrica.
El sistema 2D completo puede expresarse en forma vectorial como:
donde \(\mathbf{U}\) es el vector de variables conservadas; \(\mathbf{F(U)}\) y \(\mathbf{G(U)}\) son los flujos convectivos a lo largo de las coordenadas globales \(x\) e \(y\), respectivamente; \(\mathbf{S_b(U)}\) es el término fuente de cantidad de movimiento asociado a la variación de la fuerza de presión sobre el fondo; \(\mathbf{S_{\tau}(U)}\) es la disipación de cantidad de movimiento debida al esfuerzo cortante de contorno entre el flujo de la mezcla y la capa del lecho; y \(\mathbf{E_b(U)}\) representa el flujo neto de intercambio de masa entre el flujo de la mezcla y la capa del lecho:
En el vector de resistencia \(\mathbf{S_{\tau}(U)}\), e independientemente del modelo reológico seleccionado para representar el comportamiento del fluido compresible complejo, la resistencia basal \(\bm{\tau_b}\) entre el flujo y el lecho puede expresarse como:
siendo \(\tau_b\) el módulo del esfuerzo cortante basal y \(\mathbf{n_u}=(n_{ux},n_{uy})\) el vector unitario de velocidad.
En el término fuente de intercambio neto \(\mathbf{E_b(U)}\), los flujos globales netos de intercambio para las ecuaciones de conservación de masa de la mezcla, la fase sólida y la capa del lecho (\(N_b^{r}\), \(N_b^{\chi}\) y \(N_b^{\xi}\), respectivamente) pueden calcularse como:
donde \(\rho_{b,p}=\rho_w \xi_p + \rho_{s,p}(1-\xi_p)\) es la densidad global de la capa del lecho para la deposición de la \(p\)-ésima clase granulométrica de sedimento.
Los términos \(D_p\) y \(E_p\) son, respectivamente, las tasas verticales de deposición y arrastre de la \(p\)-ésima clase granulométrica de sedimento. El flujo neto de intercambio específico del tamaño (\(D_p-E_p\)) puede expresarse en función de la concentración volumétrica real de la mezcla promediada en profundidad \(\phi_p\) y de la concentración volumétrica de capacidad \(\phi_p^*\) para cada clase granulométrica:
siendo \(\alpha_{D,p}\) y \(\alpha_{E,p}\) dos parámetros de ajuste para las tasas de deposición y arrastre de la \(p\)-ésima clase de sedimento, respectivamente; \(\omega_{s,p}\) es la velocidad de sedimentación correspondiente al tamaño de las partículas de sedimento en agua clara; \(\phi_0 = \sum\limits_{p=1}^N \phi_p\) es la concentración total de sedimentos en la columna de flujo; \(m_0 \approx 4\) es un parámetro semiempírico que representa el efecto de obstaculización sobre la velocidad de sedimentación debido a concentraciones elevadas de sedimentos; y \(F_{b,p}\) es la fracción de la \(p\)-ésima clase granulométrica en la capa del lecho, que satisface \(\sum\limits_{p=1}^N F_{b,p}=1\). La tasa de arrastre se pondera en función de la fracción de cada clase de sedimento en la capa del lecho.
La concentración suspendida de equilibrio \(\phi_p^*\) se estima mediante distintas relaciones semiempíricas. Se han implementado las formulaciones de Bagnold , Van Rijn y Zhang-Xie. Además, está disponible la formulación de Wu, que considera la capacidad total de transporte del flujo (carga de fondo y carga suspendida):
donde \(q_{s,p}^*=\phi_p^*h|\mathbf{u}|\) es la tasa de transporte sólido de equilibrio, por volumen, por unidad de tiempo y de ancho, para la \(p\)-ésima clase granulométrica; \(d_{s,p}\) es el diámetro medio correspondiente; \(\beta_p\) es un factor de calibración (Equilibrium Formula Factor); \(n\) y \(n_p=d_{s,p}^{1/6}/21.1\) son, respectivamente, los parámetros de rugosidad de Manning global y específico del tamaño; \(\tau_b\) es el módulo del esfuerzo cortante basal; \(|\mathbf{u}|\) es la velocidad del flujo; \(\tau_t=\rho_w g h S_f\) es el esfuerzo cortante turbulento del flujo, donde \(S_f\) es la pendiente de fricción; y \(\tau_{c,p}\) es el esfuerzo cortante crítico específico del tamaño para el inicio del movimiento del material sólido.
Modelo conservativo del material del lecho para depósitos multigranulares¶
En este modelo conservativo, la masa total de la \(p\)-ésima clase de sedimento disponible en la capa del lecho se expresa como:
donde \(\zeta\) es la altura del estrato original del lecho sobre el lecho rocoso y \(eta\) es el espesor del depósito de material del lecho; \(f_{s,p}\) y \(f_{b,p}\) son, respectivamente, las fracciones de la \(p\)-ésima clase de sedimento en el estrato subyacente y en el depósito. \(f_{s,p}\) es siempre constante en el tiempo, mientras que \(f_{b,p}\) puede variar en el tiempo y el espacio, y satisface \(\sum\limits_{p=1}^N f_{b,p}=1\). La composición relativa del depósito de material del lecho cambia a medida que el material sólido se deposita en la capa de flujo o se arrastra desde ella.
Cuando el material se deposita en depósitos erosionables de material del lecho \(eta\) o se arrastra desde ellos, la conservación de masa de cada clase de sedimento se garantiza resolviendo la ecuación:
siendo \(\eta\) la altura del depósito y \(f_{b,p}\) la fracción de la \(p\)-ésima clase de sedimento en el depósito.
En este modelo conservativo, el flujo sólido neto para la \(p\)-ésima clase de sedimento se calcula alternativamente como:
donde \(N_{b,p}\) y \(A_{b,j}\) son, respectivamente, el flujo neto de intercambio de una sola clase y el área expuesta para la \(p\)-ésima clase de sedimento en el depósito de material del lecho, calculados de la siguiente manera:
Solución numérica por volúmenes finitos para flujos compresibles¶
El método numérico para el modelo VP-MB se detalla en y; aquí solo se resumen los puntos más importantes.
Para resolver numéricamente el modelo de flujo compresible de lodo o relaves, el dominio espacial se divide en celdas computacionales mediante una malla fija en el tiempo y el sistema se integra en cada celda \(\Omega_i\). Suponiendo una representación constante por tramos de las variables conservadas en la celda \(\Omega_i\) para el instante \(t^n\), \(\mathbf{U}_i^n\), la fórmula explícita para actualizar las variables conservadas al instante siguiente \(t^{n+1}\), \(\mathbf{U}_i^{n+1}\), se escribe como:
siendo \(\Delta t = t^{n+1} - t^n\) el paso de tiempo, \(A_i\) el área de la celda, \(l_k\) la longitud del lado \(k\)-ésimo de la celda, \(\bm{\mathcal{F}}_k^{\downarrow}\) el flujo numérico normal al lado \(k\)-ésimo y \(\mathbf{E_b^{\boxdot}} = A_i \mathbf{E_b} (\mathbf{U}_i^n)\) el intercambio explícitamente integrado, centrado en la celda, entre el flujo hiperconcentrado y el lecho. Por tanto, el conjunto de variables conservadas proyectadas para la celda del lado \(k\)-ésimo se define como \(\mathbf{\hat{U}} = \mathbf{R}_k \mathbf{U}\), donde \(\mathbf{R}_k\) y \(\mathbf{R}_k^{\mathbf{-1}}\) son, respectivamente, la matriz de rotación y su inversa.
El flujo numérico \(\bm{\mathcal{F}}_k^{\downarrow}\) normal a cada lado de la celda se define como:
incorporando las contribuciones de borde integradas de los términos fuente de cantidad de movimiento debidos a la presión del lecho y a la resistencia basal, \(\mathbf{\hat{S}_b}^{\vee}\) y \(\mathbf{\hat{S}}_{\bm \tau}^{\vee}\), respectivamente, en los flujos numéricos convectivos homogéneos \(\mathbf{F (\hat{U})}_k\) y garantizando la propiedad de balance exacto para estados estacionarios.
El flujo numérico en los lados de las celdas se calcula aguas arriba mediante un esquema de Roe aumentado, completamente acoplado y dividido en x (xA-Roe), que considera un problema de Riemann linealizado con una matriz jacobiana \(\mathbf{\widetilde{J}}_k\) para el flujo de la mezcla de agua y sedimentos, definida como:
con cuatro autovalores reales aproximados:
donde la celeridad promediada \(\widetilde{c}_k\) se define como:
El paso de tiempo en cada lado \(k\) se determina mediante la condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL), suponiendo que la celeridad de la onda más rápida corresponde al máximo absoluto de los autovalores de la matriz jacobiana de los flujos de la mezcla \(\widetilde{ \mathbf{J} }_k\). Los pasos de tiempo límite en el lado \(k\)-ésimo se calculan mediante:
y el paso de tiempo global \(\Delta t\) queda limitado por la condición CFL como:
Formulación reológica y resistencia basal no newtoniana¶
En y se encuentra una explicación detallada de los modelos de resistencia basal no newtoniana promediados en profundidad utilizados para el modelo VP-MB; aquí solo se resumen los puntos más importantes.
No existe una relación de cierre universal para representar la resistencia basal promediada en profundidad \(\bm{\tau_b}\) en flujos de relaves y de lodo o detritos. La formulación seleccionada para modelar el estado de esfuerzos a lo largo de la columna de flujo incorpora en las ecuaciones de cantidad de movimiento el comportamiento reológico del fluido compresible complejo en movimiento. Esta reología compleja está determinada por distintos tipos de esfuerzos cortantes: el esfuerzo turbulento o dispersivo \(\tau_t\) y el esfuerzo viscoso \(\tau_{\mu}\) en la fase líquida, el esfuerzo de fluencia cohesivo \(\tau_y\) o el esfuerzo de fricción de tipo Coulomb \(\tau_f\) entre los granos sólidos. Todos estos tipos de esfuerzo cortante actúan simultáneamente a lo largo de la columna de mezcla y, por tanto, contribuyen al módulo de la resistencia del flujo en la superficie del lecho \(\tau_b\), que debe expresarse como función de la profundidad de flujo \(h\), la densidad promediada en profundidad \(\rho\) y el módulo de la velocidad \(|\mathbf{u}| = \sqrt{{u}^2+{v}^2}\).
La formulación reológica de HydroBID Flood MT considera los siguientes comportamientos de fluido complejo:
Flujos turbulentos newtonianos: Los flujos superficiales de agua o de mezclas granulares con bajas concentraciones sólidas suelen presentar un comportamiento newtoniano y, la mayoría de las veces, ocurren en régimen turbulento. Las formulaciones turbulentas promediadas en profundidad se expresan como una relación cuadrática con la velocidad promediada en profundidad:
donde \(C_f\ [m^{-2}s^2]\) es un coeficiente de fricción que adopta la forma
para la relación de Manning, siendo \(n\ [m^{-1/3} s]\) el parámetro de rugosidad de Manning.
Flujos viscoplásticos cohesivos: La relación viscoplástica lineal, también llamada modelo de Bingham, puede utilizarse para modelar flujos laminares de materiales cohesivos en los que el módulo del esfuerzo cortante a lo largo de la columna de flujo \(\tau(z)\) sigue la relación lineal:
siendo \(\tau_y\) \([Pa]\) la resistencia de fluencia cohesiva, \(\mu_B\) \([Pa \cdot s]\) la viscosidad global de Bingham del fluido complejo y \(U\) el módulo de la velocidad instantánea a lo largo de la columna de flujo. Las mediciones reológicas de fluidos fangosos indican la existencia de una resistencia de fluencia cohesiva que se opone a la deformación. Los valores típicos del esfuerzo de fluencia \(\tau_y\) varían aproximadamente entre \(10\) y \(400\,Pa\).
Suponiendo un esfuerzo cortante simple, la estructura del flujo consta de las dos regiones separadas que se muestran en la figura. Para \(z_0 < z \leq z_s\), \(\tau(z)\) es menor que la resistencia de fluencia \(\tau_y\) y, por tanto, la velocidad es constante en toda la región de tapón. En la región inferior (\(z_b < z \leq z_0\)), el esfuerzo cortante inducido es mayor que \(\tau_y\) y el material está sometido a cizalladura.
La integración de este perfil de velocidad a lo largo de toda la columna de flujo \(z_b < z \leq z_s\) conduce a la ecuación cúbica que relaciona el módulo del esfuerzo cortante basal \(\tau_b\), la resistencia de fluencia \(\tau_y\) y el esfuerzo viscoso lineal:
El modelo de Bingham completo se resuelve analíticamente para obtener el módulo de la resistencia basal \(\tau_b\). Cuando la razón de esfuerzos \(\tau_y/\tau_b\) es menor que \(1/2\), la relación de Bingham puede simplificarse como
Flujos de adelgazamiento o espesamiento por cizalladura: El modelo viscoplástico no lineal con un esfuerzo de fluencia de tipo Coulomb puede utilizarse para modelar flujos de mezclas líquido-sólido en los que los esfuerzos de fricción intergranular son importantes y el módulo del esfuerzo cortante a lo largo de la columna de flujo \(\tau(z)\) sigue la relación no lineal:
donde \(\sigma_e(z)\) representa el esfuerzo normal efectivo a lo largo de la columna de flujo, \(m\) es el índice de comportamiento del fluido y \(\mu_P \ [Pa \cdot s^m]\) es un parámetro de tipo viscosidad plástica; \(U\) es el módulo de la velocidad instantánea a lo largo de la columna de flujo.
\(\delta_f\) es el ángulo de estabilidad basal y representa el ángulo de fricción efectivo entre las partículas sólidas. Puede aproximarse mediante el ángulo de la superficie libre del material una vez que este se ha detenido. Por lo general, sus valores oscilan entre 1 y 15 grados. Como regla general, cuanto menor sea su valor, mayor será la fluidez del material.
El esfuerzo normal efectivo \(\sigma_e(z)\) considera el esfuerzo normal total y la presión del fluido intersticial \(\mathcal{P}(z)\) como
donde la presión del fluido intersticial puede descomponerse como \(\mathcal{P}(z) = p_h(z) + p_e(z)\), considerando una componente hidrostática \(p_h(z)=\rho_w g_{\psi} (z_s-z)\) más una presión intersticial dinámica \(p_e(z)\), también conocida como exceso de presión intersticial.
Suponer un esfuerzo cortante simple a lo largo de la columna de fluido conduce a la estructura de flujo representada en la figura siguiente, donde el movimiento está impedido hasta que el esfuerzo cortante de fricción \(\sigma_e(z)\, \tan{\delta_f}\) se alcanza en toda la columna de flujo.
La integración de este perfil de velocidad a lo largo de toda la columna de flujo \(z_b < z \leq z_s\) permite obtener la siguiente expresión integrada en profundidad para el módulo del esfuerzo cortante basal \(\tau_b\):
siendo \(\tau_f\) el esfuerzo de fluencia por fricción en la superficie basal, estimado como:
donde \(P_b\) es la presión del fluido intersticial en la superficie basal.
La presión intersticial basal \(P_b\) se calcula como:
siendo \(\gamma_{pp}\) un coeficiente que representa la presión hidrostática más dinámica en el fluido intersticial, definido de la siguiente manera:
donde \(\gamma_{ref} \geq 1\) es un factor de presión intersticial definido por el usuario y \(\rho_{ref} \geq \rho_w\) es la densidad de referencia definida por el usuario. Cabe señalar que \(\gamma_{pp}\) aumenta a medida que disminuye \(\rho\) promediada en profundidad; es decir, cuanto menor es la concentración sólida del flujo, mayor es la presión intersticial basal y, por tanto, menor es la resistencia de fluencia por fricción \(\tau_f\). El flujo se considera completamente licuado (\(\tau_f=0\)) para valores de \(\gamma_{pp} \geq \rho/\rho_w\).
Los valores del factor de presión intersticial suelen estar entre 1.2 y 1.8, lo que representa un aumento del 20 % al 80 % de la presión hidrostática del fluido. Este intervalo se ha estimado en otros modelos de flujo de detritos para reproducir eventos reales, según lo reportado por Lancaster y Hayes (2003), Iverson, Reid y LaHusen (1997), y Reid, LaHusen e Iverson (1997).
Además, a medida que el material sólido desaparece de la columna de fluido, las características no newtonianas del flujo se atenúan hasta recuperar el comportamiento del agua clara. Para concentraciones sólidas globales inferiores a 0.15, el modelo VP-MB supone el modelo newtoniano turbulento o dispersivo para la resistencia basal, independientemente de la formulación reológica seleccionada. Por el contrario, el modelo CP-FB considera siempre únicamente la componente hidrostática de la presión del fluido intersticial, lo que conduce a \(\mathcal{P}_b = \rho_w g_\psi h\), independientemente de la densidad global definida por el usuario.
Cabe mencionar que se trata de una formulación generalizada integrada en profundidad para flujos viscoplásticos, como se muestra en la figura anterior, que abarca:
-
Comportamiento de adelgazamiento por cizalladura (pseudoplástico) para \(m<1\), que reduce la viscosidad aparente a medida que aumenta la tasa de cizalladura inducida. Tomando \(m=0.5\) se obtiene
\[\tau_b = \tau_f + \left( \sqrt{2} \mu_P\, \dot{\gamma}^{-1/2} \right) \dot{\gamma}\]siendo \(\dot{\gamma}=2 |\mathbf{u}|/h\) la tasa de cizalladura macroscópica.
-
Comportamiento viscoplástico lineal para \(m=1\), con una relación lineal entre el esfuerzo cortante y la tasa de cizalladura dada por
\[\tau_b = \tau_f + \left( \frac{3}{2} \mu_P \right) \dot{\gamma}\] -
Comportamiento de espesamiento por cizalladura (dilatante) para \(m>1\), que aumenta la viscosidad aparente a medida que crece la tasa de cizalladura inducida. Tomando \(m=2\) se obtiene
\[\tau_b = \tau_f + \left( \frac{25}{16} \mu_P\, \dot{\gamma} \right) \dot{\gamma}\] -
*Flujos turbulentos de fricción:* Basada en , la relación de Coulomb turbulenta aumenta la resistencia basal proporcionalmente a \(|\mathbf{u}|^2\) y utiliza el enfoque de Manning para incluir los esfuerzos turbulentos en su estimación, como sigue:
En el caso particular de material granular puro y seco, este modelo se simplifica a la relación de Coulomb utilizada habitualmente en mecánica de suelos:
Flujos turbulentos cohesivos: La combinación de una resistencia de fluencia cohesiva, un esfuerzo viscoso y la contribución turbulenta o dispersiva conduce a la formulación cuadrática para flujos turbulentos hiperconcentrados con esfuerzo cohesivo dominante a bajas tasas de cizalladura. Para este modelo aditivo, los módulos de resistencia basal \(\tau_b\) pueden expresarse como
donde \(\mu_B \ [Pa \cdot s]\) es la viscosidad plástica del material y \(k_0\) es un parámetro de resistencia. En el caso particular de flujo laminar en canales lisos, rectangulares y anchos, normalmente es adecuado \(k_0=24\), aunque este valor aumenta con la rugosidad y la geometría irregular del canal.
La tabla resume los distintos modelos utilizados por HydroBID Flood MT para estimar la resistencia basal \(\tau_b\).
p0.5cm p3cm c p3cm
- 1: Turbulent Manning; \(\tau_b = \tau_f + \rho g_{\psi} \frac{n^2 |\mathbf{u}|^2 }{h^{1/3}}\); Newtoniano turbulento.
- 2: Full Bingham; \(2 \tau_b^3 - 3 \left( \tau_y + 2 \mu_B \frac{|\mathbf{u}|}{h} \right) \tau_b^2 + \tau_y^3 = 0\); Viscoplástico cohesivo.
- 3: Simplified Bingham; \(\tau_b= \frac{3}{2} \tau_y + 3 \mu_B \frac{|\mathbf{u}|}{h}\); Viscoplástico cohesivo.
- 4: Turbulent Coulomb; \(\tau_b = \tau_f + \rho g_{\psi} \frac{n^2 |\mathbf{u}|^2 }{h^{1/3}}\); \(\tau_f = \big( \rho g_{\psi} h - \mathcal{P}_b \big) \tan{\delta_f}\); Turbulento de fricción.
- 5: Turbulent Yield; \(\tau_b = \tau_y + \rho g_{\psi} \frac{n^2 |\mathbf{u}|^2 }{h^{1/3}}\); Turbulento cohesivo.
- 6: Turbulent Coulomb/Yield; \(\tau_b = \min(\tau_y,\tau_f) + \rho g_{\psi} \frac{n^2 |\mathbf{u}|^2 }{h^{1/3}}\); \(\tau_f = \big( \rho g_{\psi} h - \mathcal{P}_b \big) \tan{\delta_f}\); Friccional/cohesivo y turbulento.
- 7: Quadratic; \(\tau_b = \tau_y + \frac{k_0}{8} \mu_B \frac{|\mathbf{u}|}{h} + \rho g_{\psi} \frac{n^2 |\mathbf{u}|^2 }{h^{1/3}}\); \(k_0=24\); Cohesivo/viscoso y turbulento.
- 8: Granular; \(\tau_b = \rho g_{\psi}\, h \tan{\delta_f}\); Fricción seca de material puro.
- 9: Viscoplastic Coulomb; \(\tau_b = \tau_f + \left( \frac{2m+1}{m} \right)^{m} \mu_P \left( \frac{|\mathbf{u}|}{h} \right)^{m}\); \(\tau_f = \big( \rho g_{\psi} h - \mathcal{P}_b \big) \tan{\delta_f}\); Adelgazamiento por fricción \(m<1\) o espesamiento por fricción \(m>1\).
- 10: Voellmy; \(\tau_b = \mathcal{A}\, \rho g_{\psi} h + \rho g_{\psi} \frac{|\mathbf{u}|^2}{\mathcal{B}}\); \(\mathcal{A} \approx \tan{\delta_f}\) y \(\mathcal{B} \approx h^{1/3}/n^2\); De fricción con presión intersticial despreciable.
Note
NOTAS:
- Para simular flujos de lodo de materiales gruesos, se recomienda utilizar Turbulent-Coulomb o Turbulent-Coulomb-Yield.
- Los flujos de lodo de materiales plásticos finos suelen representarse mejor mediante la formulación de Bingham.
- La formulación Granular está destinada a simular materiales granulares secos, no flujos de lodo.
- En la formulación Granular, el ángulo de fricción es el ángulo de estabilidad basal del material, equivalente al ángulo de la superficie libre una vez que el material deja de fluir. Este ángulo de estabilidad basal varía según el material, pero para obtener alcances similares a los de los flujos de lodo debe estar entre 1\(^\circ\) y 8\(^\circ\), y nunca ser superior a 15\(^\circ\) para materiales con baja tendencia a fluir. Usar ángulos de fricción cercanos a 30\(^\circ\) hace casi imposible la movilización con la formulación Granular.
Viscosidad y esfuerzo de fluencia variables en el modelo de flujo bifásico VP-MB¶
Al utilizar el modelo bifásico Variable-Property Movable-Bed (VP-MB), el usuario puede seleccionar entre: 1) mantener constantes en el tiempo y el espacio la viscosidad de Bingham \(\mu_B\) y el esfuerzo de fluencia \(\tau_y\); o bien 2) hacer que la viscosidad de Bingham \(\mu_B\) y el esfuerzo de fluencia \(\tau_y\) varíen en función de la concentración sólida global de cada celda.
La siguiente fórmula se utiliza para calcular la viscosidad local:
y esta se utiliza para determinar el esfuerzo de fluencia local:
donde \(\alpha_1\), \(\beta_1\), \(\alpha_2\) y \(\beta_2\) son coeficientes empíricos definidos por el usuario, que pueden estimarse a partir de mediciones del fluido simulado o de la experiencia y las observaciones publicadas en la bibliografía. El DIP proporciona una serie de estos coeficientes que han demostrado ser útiles para reproducir inundaciones de relaves y fluidos fangosos en distintos entornos.
Condiciones de contorno para el modelo de flujo bifásico Variable-Properties Movable-Bed (VP-MB)¶
Al utilizar esta opción, el usuario debe imponer la concentración volumétrica de cada fracción de sedimento en todos los contornos de entrada. Estos datos deben incluirse en el mismo archivo que define las series temporales de caudal en cada entrada. Por ejemplo, si se seleccionan dos fracciones de sedimento y BCType = 6, con la entrada definida como caudal, un archivo típico sería el siguiente:
3
0 1000. 0.2 0.3
2 67000. 0.2 0.3
100 67000. 0.2 0.3
donde la primera línea indica que hay 3 instantes. La primera columna corresponde al tiempo en horas: 0, 2 y 100 horas en este ejemplo. La segunda columna es el caudal de agua en m\(^{3}\)/s o ft\(^{3}\)/s. La tercera y la cuarta columnas indican, respectivamente, las concentraciones volumétricas de sedimento de cada una de las dos fracciones indicadas.
Introducción de datos para el modelo de flujo de lodos y relaves¶
Para introducir datos para una simulación de flujo de lodos y relaves, utilice el panel Mud/Tailings Flow. Asegúrese también de que la casilla Mud/Tailings Flow esté activa en el panel Control Data.
Según la relación de resistencia del flujo seleccionada, el usuario deberá introducir distintos parámetros. Por ejemplo:
- La relación Turbulent Manning (1) solo requiere el parámetro de rugosidad \(n\);
- La formulación Full Bingham (2) requiere el esfuerzo de fluencia \(\tau_y\) y la viscosidad de Bingham \(\mu_B\);
- La formulación Viscoplastic Coulomb (9) requiere el parámetro de viscosidad plástica \(\mu_P\), el índice de comportamiento \(m\) y el ángulo de fricción basal \(\delta_f\) necesario para calcular la resistencia de fluencia por fricción \(\tau_f\), además de los parámetros \(\gamma_{ref}\) y \(\rho_{ref}\) para estimar la presión intersticial basal \(\mathcal{P}_b\).
Cuando se selecciona el modelo Constant-Properties Fixed-Bed (CP-FB), el panel Mud/Tailings Flow proporciona funciones para determinar el esfuerzo de fluencia y la viscosidad mediante fórmulas recomendadas en varias publicaciones. La figura presenta las fórmulas disponibles para establecer el esfuerzo de fluencia uniforme en función de la concentración volumétrica:
La figura también presenta las fórmulas disponibles para determinar la viscosidad global uniforme a partir de la concentración volumétrica \(C_v\).
El panel Mud/Tailings Flow también calcula la densidad global uniforme \(\rho\) como función de la concentración volumétrica \(C_v\) y de la densidad del agua \(\rho_w\), mediante la siguiente fórmula: