Módulo de transporte de sedimentos: ST¶

La ciencia del transporte de sedimentos estudia la interrelación entre el agua en movimiento y las partículas de sedimento. Aunque se investiga desde la década de 1950 y se utiliza ampliamente en la práctica de la ingeniería, la modelación del transporte de sedimentos sigue siendo uno de los temas más activos de la investigación hidráulica. Si bien la modelación numérica de flujos de superficie libre con transporte suspendido y de fondo sobre un lecho erosionable implica, en situaciones realistas, flujo transitorio y contornos móviles, los métodos convencionales y pioneros para realizar simulaciones morfodinámicas en zonas costeras y ríos desacoplan los componentes hidrodinámicos de los de erosión y deposición. Ignorar los efectos hidrodinámicos no estacionarios significa que las escalas temporales de los cambios morfodinámicos son menores que las hidrodinámicas. Bajo esta hipótesis, solo puede modelarse razonablemente un proceso casi estacionario de transporte de fondo lentamente variable, por lo que se excluyen los flujos que cambian rápidamente y contienen ondas de choque o discontinuidades. Por esta razón, HydroBID Flood permite simular con precisión desde eventos de evolución lenta hasta cambios abruptos del lecho del río.

Ecuaciones del modelo¶

La formulación pertinente del modelo se deriva de las ecuaciones promediadas en profundidad que expresan la conservación del volumen de la mezcla de agua y sedimentos, la conservación del volumen de sedimentos y la conservación de la cantidad de movimiento de la mezcla de agua y sedimentos. Los sedimentos pueden transportarse como carga de fondo o carga suspendida. Este sistema de ecuaciones diferenciales parciales se formula aquí en forma acoplada:

\[\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}+\frac{\partial \mathbf{F(U)}}{\partial x}+\frac{\partial \mathbf{G(U)}}{\partial y}=\mathbf{S(U)}+\mathbf{R(U)}\]

donde

\[\mathbf{U}=\left( \begin{array}{ccccccc} h, & q_x, & q_y, & h\phi_1, & \ldots, & h\phi_{N_p}, & \sum\limits_{p=1} ^{N_p} z_p \end{array}\right)^{T}\]

son las variables conservadas, donde \(h\) representa la profundidad del flujo de la mezcla, \(q_x = hu\) y \(q_y = hv\) son los caudales unitarios de la mezcla, \((u,v)\) son las componentes promediadas en profundidad del vector de velocidad \(\mathbf{u}\) a lo largo de las coordenadas \(x\) e \(y\), respectivamente, y \(\phi_p\), con \(p=1,...,{N_p}\), representa la concentración volumétrica escalar promediada en profundidad de las \(N_p\) clases de tamaño de sedimento transportadas en suspensión. El término \(z_p\) es la contribución de la clase de sedimento \(p\) a la capa del lecho. Por tanto, la elevación total del lecho \(z\) puede calcularse como \(z=\sum_{p=1} ^{N_p} z_p\). La formulación permite considerar un suelo heterogéneo en el que pueden coexistir distintas fracciones de sedimento.

Por otra parte, los flujos vienen dados por

\[\begin{array}{l} \mathbf{F}=\left( \begin{array}{ccccccc} q_x, & \frac {q_x^2}{h} + \frac {1}{2} g h^2, & \frac{q_x q_y}{h}, & q_x \phi_1, & \ldots & q_x \phi_{N_p},& \sum\limits_{p=1} ^{N_p} (\xi_p\, q_{bp,x}) \end{array}\right)^{T} \\ \mathbf{G}=\left( \begin{array}{ccccccc} q_y , & \frac{q_x q_y}{h}, & \frac {q_y^2}{h} + \frac {1}{2} g h^2, & q_y \phi_1, & \ldots, & q_y \phi_{N_p}, & \sum\limits_{p=1}^{N_p} (\xi_p\, q_{bp,y}) \end{array}\right)^{T} \\ \end{array}\]

donde \(g\) es la aceleración de la gravedad, \(\xi_p = 1/ (1-p_p)\) representa el efecto de esponjamiento volumétrico de las partículas sólidas del lecho erosionable, \(p_p\) es la porosidad específica de la fracción de sedimento de la capa de lecho \(p\) y \(q_{bp,x}\) y \(q_{bp,y}\) son las tasas de transporte de carga de fondo de capacidad a lo largo de las coordenadas \(x\) e \(y\), calculadas mediante leyes empíricas. Los términos fuente del sistema se dividen en tres tipos. El término \(\mathbf{S}\) se define como

\[\mathbf{S}=\left( 0 , \; \frac{p_{b,x}} {\rho_w} - \frac{\tau_{b,x}} {\rho_w}, \; \frac{p_{b,y}} {\rho_w} - \frac{\tau_{b,y}} {\rho_w} ,0, \ldots,0,0 \right)^{T}\]

siendo \(p_{b,x},p_{b,y}\) la fuerza de presión a lo largo del fondo y \(\tau_{b,x},\tau_{b,y}\) el esfuerzo cortante del lecho en las direcciones \(x\) e \(y\), respectivamente, y \({\rho_w}\) la densidad del agua. La primera puede formularse en términos de las pendientes del nivel del fondo \(z\):

\[\begin{aligned} & \frac{p_{b,x}} {\rho_w} = - gh\frac{\partial z}{\partial x} = ghS_{0x}, \\ & \frac{p_{b,y}} {\rho_w} = -gh \frac{\partial z}{\partial y}= ghS_{0y} \end{aligned}\]

y las pérdidas por fricción se escriben en términos del coeficiente de rugosidad de Manning \(n\):

\[\begin{aligned} \frac{\tau_{b,x}} {\rho_w}=g h S_{fx} \quad \text{with:} \quad S_{fx}= \frac{n^2u \sqrt{u^2+v^2}}{h^{4/3}} \\ \frac{\tau_{b,y}} {\rho_w}=g h S_{fy} \quad \text{with:} \quad S_{fy}= \frac{n^2v\sqrt{u^2+v^2}}{h^{4/3}} \end{aligned}\]

Los términos netos de intercambio de carácter volumétrico entre el flujo y el lecho erosionable \(\mathbf{R}\) se definen como

\[\mathbf{R}= \left(\sum\limits_{p=1}^{N_p} (\xi_p\, R_p), 0,0,R_1, \ldots, R_{N_p},-\sum\limits_{p=1} ^{N_p} (\xi_p\, R_p) \right)^T\]

donde \(R_p\) es el flujo sólido neto de intercambio entre el flujo de la mezcla y la capa de lecho erosionable para la fracción de sedimento \(p\).

Leyes de transporte de sedimentos¶

Dos formas diferentes de transporte de sedimentos gobiernan la dinámica del lecho móvil considerado en HydroBID Flood: la carga suspendida y la carga de fondo. Ambas pueden coexistir o una de ellas puede ser dominante.

Como cada ley de transporte de sedimentos se deriva de conjuntos de datos de laboratorio y de campo diferentes, se considera un parámetro de calibración en forma de factor de corrección para ajustar los resultados numéricos.

Transporte de carga de fondo¶

Cuando la carga de fondo es el mecanismo dominante de transporte de sedimentos y la influencia de la carga suspendida es despreciable, el sistema se reduce a la forma siguiente\ Conservación de la masa del agua \(\(\frac{\partial{(h)}}{\partial{t}}+ \frac{\partial{(hu)}}{\partial{x}} + \frac{\partial{(hv)}}{\partial{y}}=0\)\)

Conservación de la cantidad de movimiento del agua en la dirección \(x\) \(\(\frac{\partial {(hu)}}{\partial t} + \frac{\partial {\big(hu^{2}+(1/2)gh^{2}\big)}}{\partial x} + \frac{\partial{(huv)}}{\partial{y}} = \frac{p_{bx}}{\rho_w}-\frac{\tau_{bx}}{\rho_w}\)\)

Conservación de la cantidad de movimiento del agua en la dirección \(y\) \(\(\frac{\partial {(hv)}}{\partial t} + \frac{\partial{(huv)}}{\partial{x}}+\frac{\partial {\big(hv^{2}+(1/2)gh^{2}\big)}}{\partial y} = \frac{p_{by}}{\rho_w}-\frac{\tau_{by}}{\rho_w}\)\)

Cambios de elevación del lecho \(\(\frac{\partial}{\partial t} \left( \sum_{p=1} ^{N_p} z_p \right) + \frac{\partial}{\partial x} \left( \sum_{p=1} ^{N_p} \xi_p\, q_{bp,x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \sum_{p=1} ^{N_p} \xi_p\, q_{bp,y} \right) = 0\)\)

El módulo de la tasa de transporte de carga de fondo, \(q_{bp}\), para la clase de tamaño de sedimento \(p\) se define como

\[q_{bp}=\sqrt{q_{bp,x}+q_{bp,y}}\]

y se calcula como

\[q_{bp} = f_{bp}\, \Phi_p\, \sqrt{g(s_p-1)d_{50p}^3}\]

donde \(f_{bp}\) es la fracción en la capa de transporte, \(s_p=\rho_{sp}/\rho_w\) es la relación de densidades, \(\rho_{sp}\) es la densidad del sedimento y \(d_{50p}\) es el diámetro mediano de la clase de tamaño de sedimento \(p\).

El parámetro adimensional \(\Phi_p\) para la clase de tamaño de sedimento \(p\) se calcula mediante una ley empírica. La tabla reúne las fórmulas implementadas en la presente versión de HydroBID Flood. Para mayor claridad, se ha omitido el subíndice \(p\) en la formulación empírica del transporte de fondo, donde \(d_{90}\), \(d_{50}\) y \(d_{30}\) son los diámetros de grano para los que, respectivamente, el 90\%, 50\% y 30\% del peso de una muestra no uniforme es más fino; \(\theta\) es el esfuerzo de Shields adimensional, \(\theta_c\) es el valor crítico del esfuerzo de Shields para el inicio del movimiento y \(\theta_c^S\) es el esfuerzo crítico de Shields expresado por Smart (1984).

El esfuerzo de Shields se calcula como

\[\theta = \frac{|\tau_b|}{(\rho_s-\rho_w)\,g\,d_{50}}\]

siendo \(|\tau_b|\) el módulo del esfuerzo cortante generado en el fondo por la rugosidad del lecho, que se tiene en cuenta mediante el coeficiente \(n\) de Manning y se calcula como

\[|\tau_b| = \rho_w\, h \frac{n^2\, (u^2+v^2)}{h^{4/3}}\]

Meyer-Peter: Mueller (1948); \(8\left(\theta-\theta_c\right)^{3/2}\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Ashida Michiue (1972): \(17\left(\theta-\theta_c\right)\left(\sqrt\theta-\sqrt\theta_c\right)\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Engelund and Fredsøe (1976): \(18.74\left(\theta-\theta_c\right)\left(\sqrt\theta-0.7\sqrt\theta_c\right)\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Fernandez-Luque and van Beek (1976): \(5.7\left(\theta-\theta_c\right)^{3/2}\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Parker fit to Einstein (1979): \(11.2\left(1-\theta/\theta_c\right)^{9/2}\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Smart (1984): \(4\left(d_{90}/d_{30}\right)^{0.2}S_0^{0.6}C\theta^{1/2}\left(\theta-\theta_c^5\right)\); \(d_{30}\),\(d_{50}\),\(d_{90}\),\(\theta_c\),\(\theta_c^S\),\(\rho_s\)
Nielsen (1992): \(12\theta^{1/2}\left(\theta-\theta_c\right)\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Wong: \(4.93\left(\theta-\theta_c\right)^{1.6}\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Wong: \(3.97\left(\theta-\theta_c\right)^{3/2}\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Camenen-Larson: \(12\theta^{3/2}exp\left(-4.5\theta_c/\theta\right)\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)

La suma \(\sum_{p=1}^{N_p} z_p\) en puede considerar un suelo heterogéneo, donde pueden coexistir distintas fracciones de material. Para tener en cuenta esta heterogeneidad, cada caudal de transporte de sedimentos (\(q_{bp,x}\),\(q_{bp,y}\)) asociado a la clase de tamaño de sedimento \(p\) se multiplica por su fracción de suelo correspondiente \(f_{bp}\). Por tanto, es necesario definir la fracción de cada clase de tamaño de sedimento en la capa del lecho.

Transporte de carga suspendida¶

Cuando la carga suspendida desempeña el papel principal en la movilización del lecho, el término de carga de fondo puede omitirse y el sistema adopta la forma siguiente\ Conservación de la masa de la mezcla \(\(\frac{\partial{(h)}}{\partial{t}}+ \frac{\partial{(hu)}}{\partial{x}} + \frac{\partial{(hv)}}{\partial{y}}=\sum\limits_{p=1}^{N_p} \xi_p\, R_p\)\)

Conservación de la cantidad de movimiento de la mezcla en la dirección \(x\) \(\(\frac{\partial {(hu)}}{\partial t} + \frac{\partial {\big(hu^{2}+(1/2)gh^{2}\big)}}{\partial x} + \frac{\partial{(huv)}}{\partial{y}} = \frac{p_{bx}}{\rho_w}-\frac{\tau_{bx}}{\rho_w}\)\)

Conservación de la cantidad de movimiento de la mezcla en la dirección \(y\) \(\(\frac{\partial {(hv)}}{\partial t} + \frac{\partial{(huv)}}{\partial{x}}+\frac{\partial {\big(hv^{2}+(1/2)gh^{2}\big)}}{\partial y} = \frac{p_{by}}{\rho_w}-\frac{\tau_{by}}{\rho_w}\)\)

Conservación de la masa de sedimento suspendido para la clase de tamaño \(p\) \(\(\frac{\partial{(h\phi_p)}}{\partial{t}} + \frac{\partial{(hu\phi_p)}}{\partial{x}} + \frac{\partial{(hv\phi_p)}}{\partial{x}}= R_{p}\)\)

Cambios de elevación del lecho \(\(\frac{\partial}{\partial t} \left( \sum_{p=1} ^{N_p} z_p \right) = - \sum\limits_{p=1} ^{N_p} \xi_p\, R_p\)\)

donde el flujo neto de intercambio entre el flujo de la mezcla y la capa del lecho para la clase de tamaño de sedimento \(p\), \(R_p\), se calcula como

\[R_p = A_{bp}\, (E_p-D_p) = A_{bp}\, \omega_{mp}\, (\phi_{p}^* - \phi_{p} )\]

donde \(E_p\) y \(D_p\) son, respectivamente, las tasas específicas de arrastre y deposición para la clase de sedimento \(p\), y el factor \(A_{bp}\) representa el área expuesta de la clase de sedimento \(p\) en la capa superior del lecho erosionable, cumpliendo \(\sum_{p=1}^{N_p} A_{bp}=1\). Las tasas de arrastre y deposición se calculan como \(E_p = \omega_{mp}\, \phi_{p}^*\) y \(D_p = \omega_{mp}\, \phi_{p}\), respectivamente; \(\phi_{*p}\) es la concentración sólida de equilibrio o de capacidad y \(\omega_{mp}\) es la velocidad de sedimentación real de la clase de sedimento \(p\) en la mezcla de flujo cargada de sedimentos, ambas obtenidas mediante leyes empíricas. El término \(\phi_p\) contiene la información sobre la masa de sedimento suspendido de la clase de tamaño \(p\) que realmente se transporta. En todas ellas, los parámetros de entrada son la densidad del sedimento y el diámetro de grano de la clase \(p\).

Cabe señalar que las leyes de intercambio de sedimentos se han derivado para una sola partícula que cae en agua clara y en situaciones estacionarias. Por tanto, al considerar una situación transitoria con concentración de sedimentos en la columna de flujo, debe tenerse en cuenta la influencia de las partículas cercanas, ya que puede reducir considerablemente la velocidad de caída respecto al agua clara. Este efecto, conocido como sedimentación impedida, se incluye en las ecuaciones calculando la velocidad de sedimentación real \(\omega_{mp}\) para cada clase de tamaño de sedimento en la mezcla de flujo:

\[\omega_{mp}= \left\lbrace \begin{array}{ll} \alpha_{\omega p} \left(1-\frac{\phi_0}{2\sqrt{d_{50p}}}\right)^3 \omega_{sp} & \text{if: } \phi_0>2\sqrt{d_{50p}} \\ \alpha_{\omega p} \left(1-\phi_0\right)^4 \omega_{sp} & \text{otherwise} \end{array} \right.\]

donde \(\alpha_{\omega p}\) es un parámetro de ajuste definido por el modelador, \(phi_0=\sum\limits_{p=1} ^{N_p} \phi_p\) representa la concentración global en la mezcla de flujo, \(\omega_{sp}\) es la velocidad teórica de sedimentación de una sola partícula en agua clara y \(d_{50p}\) es el diámetro mediano de cada clase de sedimento. La tabla reúne las fórmulas consideradas en esta versión de HydroBID Flood para calcular la velocidad de sedimentación de cada clase en agua clara, \(\omega_{sp}\). En todas ellas, los parámetros de entrada necesarios son la densidad del sedimento y el diámetro mediano de cada clase. Para mayor claridad, se ha omitido el subíndice \(p\) en la formulación empírica.

Rubey (1933): \(\omega_s = F\sqrt{\left(\frac{\rho_s}{\rho_w}-1\right)gd_{50}}\); Si \(d_{50}\) \(>\) 1 mm, \(F\) = 0.79; de lo contrario, \(F=\left(\frac{2}{3}+\frac{36\nu^2}{gd_{50}^3\left(\rho_s/\rho_w -1\right)}\right)^{0.5}-\left(\frac{36\nu^2}{gd_{50}^3\left(\rho_s/\rho_w -1\right)}\right)^{0.5}\)
Zhang (1961): \(\omega_s = \sqrt{\left(13.95\frac{\nu}{d_{50}}\right)^2+1.09\left(\frac{\rho_s}{\rho_w}-1\right)gd_{50}}-13.95\frac{\nu}{d_{50}}\); Válida para un intervalo amplio de \(d_{50}\)
Zanke (1977): \(\omega_s = 10\frac{\nu}{d_{50}}\left(\left(1+0.01\left(\frac{\rho_s}{\rho_w}-1\right)\frac{gd_{50}^3}{\nu^2}\right)^{0.5}-1\right)\)
Van Rijn (1984): \(\omega_s = \left(\frac{1}{18} \frac{\rho_s - \rho_w}{\rho_w} g\frac{d^{2}_{s}}{\nu}\right)\); \(d_{50}\) \(<\) 0.1 mm
Raudkivi (1990): \(\omega_s =\left(\frac{\left(2/3\right)\left(\rho_s/\rho_w -1\right)gd_{50}^2}{\nu}-32\right)\frac{\nu}{1.2d_{50}}\); \(d_{50}\) \(>\) 1 mm
Julien (1995): \(\omega_s =\left(\frac{\left(2/3\right)\left(\rho_s/\rho_w -1\right)gd_{50}^2}{\nu}-24\right)\frac{\nu}{1.5d_{50}}\)
Cheng(1997): \(\omega_s =\frac{\nu}{d_{50}}\left(\sqrt{25+1.2D_*^2}-5\right)^{1.5}\); \(D_*\) = \(d_{50}\left(\left(\rho_s/\rho_w -1\right)g/\nu^2\right)^{1/3}\)
Jiménez-Madsen (2003): \(\omega_s = (C_1+C_2S_*)\sqrt{(s-1)gd_{50}}\); \(C_1\), \(C_2\) y \(S_*\) como en Jiménez-Madsen
Wu-Wang(2006): \(\omega_s\) = \(\frac{M\nu}{Nd_s}\left(\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{4N}{3M^2}D_*^3\right)^{1/n}}-0.5\right)^n\); \(M\), \(N\) y \(n\) como en Wu, y \(D_*\) = \(d_{50}\left(\left(\rho_s/\rho_w -1\right)g/\nu^2\right)^{1/3}\)

Fórmulas de capacidad de carga suspendida¶

Como se mencionó anteriormente, la concentración de equilibrio \(\phi_{p}^*\) que aparece en se obtiene para cada clase de tamaño de sedimento \(p\) como

\[\phi_{p}^*=\frac{q_{sp}^*}{h\, U}\]

donde \(U = \sqrt{u^2+v^2}\) es el módulo de la velocidad de flujo y \(q_{*sp}\) es la tasa de transporte sólido suspendido de capacidad, que se estima mediante una de las siguientes relaciones empíricas. Para mayor claridad, se ha omitido el subíndice \(p\) en las leyes empíricas.

Bagnold (1966, ) consideró que el esfuerzo cortante es proporcional a la velocidad de flujo y estableció la fórmula siguiente:

\[q_{s}^* = 0.01\frac{\rho_s}{\rho_s-\rho_w}\frac{\tau_b\,U^2}{\omega_s}\]

donde \(\tau_b\) es el esfuerzo cortante generado en el fondo por la rugosidad del lecho, que se calcula mediante.
Van Rijn (1984, ) propuso calcular la carga suspendida de equilibrio integrando el flujo de sedimentos dentro de la capa donde la suspensión desempeña un papel clave, es decir, entre los términos \(h_s\) y \(h\):

\[q_{s}^* = \int\nolimits_{h_s}^{h} \phi_m\, U\ dh'\]

donde \(q_{s}^*\) se expresa como volumen por unidad de tiempo y los términos \(\phi_m\) y \(h_s\) se definen de la siguiente manera:

\[\phi_m = \phi_s \left(\frac{\frac{h}{h^{'}}-1}{\frac{h}{h_s}-1}\right)^{\omega_s/(k U_*)}\]

con

\[\phi_s = \frac{0.117}{d_{50}}\left(\frac{\nu^2}{(s - 1)g}\right)^{1/3}\left(\frac{\theta}{\theta_c}-1\right)\]

\[h_s = 0.3\, d_{50} \left(d_{50}\left(\frac{(s - 1) g}{\nu^2}\right)^{1/3}\right)^{0.7}\sqrt{\frac{\theta}{\theta_c}-1}\]

donde \(\theta\) es el esfuerzo de Shields adimensional calculado mediante , \(\theta_c\) es el parámetro crítico de Shields, \(d_{50}\) es el diámetro mediano del sedimento, \(s\) es la relación de densidades y \(\nu\) es la viscosidad cinemática del agua.

Composición de la capa activa¶

La exposición de cada clase de sedimento en la capa superior del lecho erosionable, conocida como capa activa, gobierna el intercambio de material sólido entre el transporte de fondo y el transporte suspendido. Esta versión de HydroBID Flood incluye dos modelos para la composición de la capa activa:

Modelo de fracción fija: La composición de la capa superior del lecho erosionable no varía respecto al sustrato definido por el usuario. Por tanto, dada la fracción de cada clase de sedimento en el sustrato \(F_{sp}\), que cumple \(\sum_{p=1}^{N_p} F_{sp}=1\), la composición de la tasa de carga de fondo y del término de intercambio suspendido se estima como

\[\begin{aligned} & \text{Bedload fraction:} \quad f_{bp}=F_{sp} \\ & \text{Exchange exposure:} \quad A_{bp}= \left\lbrace \begin{array}{ll} F_{sp} & \text{if: } E_p-D_p > 0 \\ 1 & \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]
Modelo de capa activa: El modelo de capa activa proporciona un enfoque más complejo. Los sedimentos de la capa superior del lecho erosionable pueden intercambiarse libremente con la capa de transporte de fondo, la carga suspendida del flujo y el sustrato subyacente. Por tanto, la composición de esta capa activa evoluciona según la ecuación

\[\frac{\partial}{\partial t} (f_{ap} \eta_a) = - \xi_p \left( \frac{\partial\, q_{bp,x} }{\partial x} + \frac{\partial\, q_{bp,y}}{\partial y} \right) - \big( \xi_p\, R_p \big) - f_{ep} \frac{\partial z_e}{\partial t}\]

donde \(\eta_a\) es el espesor de la capa activa y \(f_{ap}\) la fracción de la clase de sedimento \(p\) en la capa activa, que cumple \(\sum_{p=1}^{N_p} f_{ap}=1\), y \(z_e\) representa la interfaz entre la capa activa y el sustrato subyacente. Aquí el espesor de la capa activa se estima como función del diámetro máximo del sedimento y de la altura de la forma del lecho, mientras que la variación temporal de la interfaz \(\partial z_e/\partial t\) se aproxima mediante el cambio global del nivel del lecho \(\partial z/\partial t\). El término \(f_{ep}\) representa la fracción de la clase de sedimento \(p\) que se intercambia a través de la interfaz \(z_e\), cumpliendo \(\sum_{p=1}^{N_p} f_{ep}=1\), y se estima como

\[f_{ep} = \left\lbrace \begin{array}{l l} F_{sp} & \text{if: } \partial z_e / \partial t < 0 \\ \beta_a f_{ap} + (1-\beta_a) \phi_p/\phi_0 & \text{otherwise} \end{array} \right.\]

donde \(\beta_a\) es un parámetro de ponderación de ajuste fijado en 0.6 en HydroBID Flood y \(\phi_p/\phi_0\) representa la concentración relativa de la clase de sedimento \(p\) en la carga suspendida.

La composición de la tasa de carga de fondo y del término de intercambio suspendido se estima como

\[\begin{aligned} & \text{Bedload fraction:} \quad f_{bp}=f_{ap} \\ & \text{Exchange exposure:} \quad A_{bp}= \left\lbrace \begin{array}{ll} \frac{f_{ap}/d_{50p}}{\sum_{p=1}^{N_p} f_{ap}/d_{50p}} & \text{if: } E_p-D_p > 0 \\ 1 & \text{otherwise} \end{array} \right. \end{aligned}\]

Condiciones de contorno para el modelo de sedimentos suspendidos¶

Al utilizar el modelo de sedimentos suspendidos, el usuario debe imponer la concentración volumétrica de cada fracción de sedimento en todos los contornos de entrada. Estos datos deben incluirse en el mismo archivo que establece la serie temporal de cada entrada. Por ejemplo, si selecciona dos fracciones de sedimento y BCType=6, con la entrada definida como caudal frente al tiempo, un archivo típico sería el siguiente:

3 0 1000. 0.1 0.2 2 67000. 0.1 0.2 100 67000. 0.1 0.2

La primera columna es el tiempo en horas. Hay 3 tiempos: 0, 2 y 100 horas. La segunda columna es el caudal de agua (1000, 67000, 67000). Después hay dos columnas que deben contener la concentración volumétrica de sedimento \(\phi_p\) para cada fracción.

Condiciones de contorno para el modelo de carga de fondo¶

Proporcionar únicamente la entrada de caudal de agua¶

Al utilizar el modelo de carga de fondo, el usuario puede imponer únicamente el caudal de agua y dejar que el modelo calcule la entrada sólida. Esta función es útil cuando no se dispone de datos de caudal sólido. En ese caso, el modelo determinará el caudal sólido de cada clase de sedimento según las condiciones locales del flujo y la fórmula de carga de fondo seleccionada, lo que puede ser una buena aproximación en muchas aplicaciones.

En esta opción, seleccione la condición de contorno Discharge vs. Time (BCType=6) y proporcione una tabla que contenga únicamente el tiempo y el caudal de agua. Un archivo típico sería el siguiente:

3 0 1000. 2 67000. 100 67000.

La primera columna es el tiempo en horas. Este archivo indica que hay 3 tiempos: 0, 2 y 100 horas. La segunda columna es el caudal de agua (1000, 67000, 67000). No serán necesarias otras columnas.

Entrada de caudal de agua y sedimentos¶

Al utilizar el modelo de carga de fondo, el usuario puede imponer el caudal de agua y la entrada volumétrica de carga de fondo. En este caso, debe proporcionarse la entrada de sedimentos para cada fracción en todas las entradas. Estos datos deben incluirse en el mismo archivo que establece la serie temporal de cada entrada. Por ejemplo, si selecciona dos fracciones de sedimento y BCType=26, un archivo típico sería el siguiente:

3 0 1000. 0.005 0.002 2 67000. 0.005 0.002 100 67000. 0.005 0.002

La primera columna es el tiempo en horas. Hay 3 tiempos: 0, 2 y 100 horas. La segunda columna es el caudal de agua (1000, 67000, 67000). Después hay dos columnas con la entrada volumétrica de carga de fondo para cada clase de sedimento.

El caudal de carga de fondo debe expresarse en m\(^3\)/s al utilizar unidades métricas y en ft\(^3\)/s al utilizar unidades inglesas.

Condiciones de contorno para el modelo combinado de carga de fondo y carga suspendida¶

Al utilizar conjuntamente los modelos de carga de fondo y carga suspendida, el usuario debe imponer la concentración de sedimentos suspendidos \(\phi_p\) y la entrada volumétrica de carga de fondo para cada fracción en todas las entradas. Estos datos deben incluirse en el mismo archivo que establece la serie temporal de cada entrada. Por ejemplo, si selecciona dos clases de sedimentos y BCType=26, un archivo típico de condiciones de contorno de entrada sería el siguiente:

3 0 1000. 0.1 0.2 0.005 0.002 2 67000. 0.1 0.2 0.005 0.002 100 67000. 0.1 0.2. 0.005 0.002

La primera columna es el tiempo en horas. Este archivo indica que hay 3 tiempos: 0, 2 y 100 horas. La segunda columna es el caudal de agua (1000, 67000, 67000). La tercera y cuarta columnas son la entrada de caudal sólido de fondo para cada clase. Finalmente, la quinta y sexta columnas representan la concentración volumétrica de sedimento \(\phi_p\) de cada clase.

El caudal de carga de fondo debe expresarse en m\(^3\)/s al utilizar unidades métricas y en ft\(^3\)/s al utilizar unidades inglesas.

Solución numérica de volúmenes finitos del transporte de sedimentos¶

El sistema de ecuaciones se integra en un volumen o celda de la malla \(\Omega\) mediante el teorema de Gauss:

\[\frac {\partial} {\partial t} \int_{\Omega} \mathbf{U}d\Omega + \oint_{ \partial \Omega } \mathbf{En} dl = \int_{\Omega} \mathbf{S}d \Omega + \int_{\Omega} \mathbf{R}d \Omega\]

donde \(\mathbf{n}=(n_x,n_y)\) es el vector normal unitario exterior al volumen \(\Omega\).

Para obtener una solución numérica del sistema, dividimos el dominio en celdas computacionales \(\Omega_i\) mediante una malla fija en el tiempo y se aplica a cada celda.

\[\begin{array}{cc} \displaystyle{\frac {\partial} {\partial t} \int_{\Omega_i} \mathbf{U} d\Omega + \sum_{k=1} ^{NE} \int_{e_{k}}^{e_{k+1}} (\mathbf{En})^\downarrow_{ k} dl_k = \int_{\Omega_i} \mathbf{S}d \Omega + \int_{\Omega_i} \mathbf{R}d \Omega } \\ \end{array}\]

siendo \((\mathbf{En})^\downarrow_{ k}\) el valor de la función de flujo de interfaz a través del borde \(k\) que debe definirse, \(\mathbf{n}_{k}=(n_x,n_y)\) el vector normal unitario exterior al borde de celda \(k\), y \(NE\) el número de bordes de la celda \(i\). En la Figura se muestra un esquema de los flujos.

Suponiendo una representación por tramos de las variables conservadas

\[\mathbf{U}_{i}^{n}=\frac{1}{A_i} \int_{\Omega_i} \mathbf{U}(x,y,t^{n})d\Omega\]

La ecuación se escribe como

\[\frac {\partial} {\partial t} \int_{\Omega_i} \mathbf{U}d\Omega + \sum_{k=1} ^{NE} (\mathbf{En})^\downarrow_{ k} l_k = \int_{\Omega_i} \mathbf{S}d \Omega + \int_{\Omega_i} \mathbf{R}d \Omega\]

donde \(l_k\) es la longitud del borde correspondiente. El sistema se resuelve siguiendo la teoría del solucionador de Riemann de Roe y utilizando la discretización ascendente [].

Introducción de datos del modelo de transporte de sedimentos en el DIP¶

Para introducir datos de una simulación de transporte de sedimentos, utilice el panel Sediment Transport.

Supuestos y consideraciones del modelo de transporte de sedimentos¶

Los principales supuestos de la versión actual de HydroBID Flood son:

Al utilizar la opción de carga de fondo, la tasa de transporte de sedimentos es igual a la capacidad de transporte en condiciones de equilibrio.
Cada tamaño de partícula de sedimento se considera mediante un único diámetro característico (\(D_{50}\)) para todas las fórmulas, excepto la de Smart (1984), que considera tres tamaños (\(D_{30}\), \(D_{50}\) y \(D_{90}\)).
El modelo de fracción fija garantiza la conservación del lecho de todas las fracciones por separado.
El modelo de capa activa puede tener en cuenta los efectos de armorización del lecho, pero no garantiza la conservación de todas las fracciones del lecho por separado.
El modelo no considera la socavación local, como la socavación en pilas, donde el flujo tridimensional determina las tasas de transporte de sedimentos y de cambio del lecho.
Al asignar la elevación máxima de erosión del lecho, el modelo bloquea la erosión adicional cuando la elevación del lecho alcanza el límite indicado.

Note

Como las formulaciones del caudal de carga de fondo, el caudal de carga suspendida y la velocidad de sedimentación se basan en leyes deterministas respaldadas por experimentación, para cada una se han considerado factores de ajuste. Por tanto, el modelo permite calibrar el transporte de sedimentos calculado para cada situación particular.