Módulo de transporte de sedimentos: ST¶

La ciencia del transporte de sedimentos estudia la interrelación entre el agua en movimiento y las partículas de sedimento. A pesar de que se ha estudiado desde la década de 1950 y se emplea ampliamente en la práctica de la ingeniería, el modelado del transporte de sedimentos sigue siendo actualmente uno de los temas más activos en el campo de la investigación hidráulica. Aunque el modelado numérico de flujos de superficie libre con transporte en suspensión y por arrastre de fondo sobre un lecho erosionable en situaciones realistas implica flujo transitorio y fronteras de flujo móviles, los métodos convencionales y pioneros para realizar simulaciones morfodinámicas en zonas costeras y ríos desacoplan los componentes hidrodinámicos y de erosión y deposición. Ignorar los efectos hidrodinámicos no estacionarios significa que las escalas temporales de los cambios morfodinámicos son menores en comparación con las hidrodinámicas. Bajo esta hipótesis, solo puede modelarse razonablemente un proceso casi estacionario de arrastre de fondo que varía lentamente, por lo que quedan excluidos los flujos que varían rápidamente y contienen ondas de choque o discontinuidades. Por esta razón, RiverFlow2D permite simular con precisión desde eventos de evolución lenta hasta cambios abruptos del lecho del río.

Ecuaciones del modelo¶

La formulación relevante del modelo se deriva de las ecuaciones promediadas en profundidad que expresan la conservación del volumen de la mezcla de agua+sedimento, la conservación del volumen de sedimento y la conservación del momento de la mezcla de agua+sedimento. Los sedimentos pueden transportarse por arrastre de fondo o en suspensión. Este sistema de ecuaciones diferenciales parciales se formula aquí en forma acoplada de la siguiente manera

\[\begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}+\frac{\partial \mathbf{F(U)}}{\partial x} \\ {}+\frac{\partial \mathbf{G(U)}}{\partial y}=\mathbf{S(U)}+\mathbf{R(U)} \end{aligned}\]

donde

\[\mathbf{U}=\left( \begin{array}{c} h \\ q_x \\ q_y \\ h\phi_1 \\ \vdots \\ h\phi_{N_p} \\ \sum\limits_{p=1} ^{N_p} z_p \end{array}\right)^{T}\]

son las variables conservadas, donde \(h\) representa la profundidad del flujo de la mezcla, \(q_x = hu\) y \(q_y = hv\) son los caudales unitarios de la mezcla, siendo \((u,v)\) las componentes promediadas en profundidad del vector de velocidad \(\mathbf{u}\) a lo largo de las coordenadas \(x\) e \(y\), respectivamente, y \(\phi_p\), con \(p=1,...,{N_p}\), representa la concentración volumétrica escalar promediada en profundidad de las \(N_p\) diferentes clases de tamaño de sedimento transportadas en suspensión. El término \(z_p\) es la contribución de la clase de sedimento \(p\) a la capa del lecho. Por tanto, la elevación total del lecho \(z\) puede calcularse como \(z=\sum_{p=1} ^{N_p} z_p\). La formulación permite considerar un suelo heterogéneo, donde pueden coexistir diferentes fracciones de sedimento.

Por otro lado, los flujos vienen dados por

\[\begin{aligned} \mathbf{F}&=\left( \begin{array}{c} q_x \\ \frac {q_x^2}{h} + \frac {1}{2} g h^2 \\ \frac{q_x q_y}{h} \\ q_x \phi_1 \\ \vdots \\ q_x \phi_{N_p} \\ \sum\limits_{p=1}^{N_p} (\xi_p\, q_{bp,x}) \end{array}\right)^{T} \\ \mathbf{G}&=\left( \begin{array}{c} q_y \\ \frac{q_x q_y}{h} \\ \frac {q_y^2}{h} + \frac {1}{2} g h^2 \\ q_y \phi_1 \\ \vdots \\ q_y \phi_{N_p} \\ \sum\limits_{p=1}^{N_p} (\xi_p\, q_{bp,y}) \end{array}\right)^{T} \end{aligned}\]

donde \(g\) es la aceleración de la gravedad, \(\xi_p = 1/ (1-p_p)\) tiene en cuenta el efecto de expansión volumétrica de las partículas sólidas en el lecho erosionable, \(p_p\) es la porosidad específica de la fracción de sedimento de la \(p\)-ésima capa del lecho, y \(q_{bp,x}\) y \(q_{bp,y}\) son las tasas de transporte por arrastre de fondo de capacidad a lo largo de las coordenadas \(x\) e \(y\), respectivamente, calculadas mediante leyes empíricas. Los términos fuente del sistema se dividen en tres tipos. El término \(\mathbf{S}\) se define como

\[\mathbf{S}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \frac{p_{b,x}} {\rho_w} - \frac{\tau_{b,x}} {\rho_w} \\ \frac{p_{b,y}} {\rho_w} - \frac{\tau_{b,y}} {\rho_w} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)^{T}\]

con \(p_{b,x},p_{b,y}\) y \(\tau_{b,x},\tau_{b,y}\) como la fuerza de presión a lo largo del fondo y el esfuerzo cortante del lecho en las direcciones \(x\) e \(y\), respectivamente, siendo \({\rho_w}\) la densidad del agua. La primera puede formularse en términos de las pendientes del lecho del nivel inferior \(z\)

\[\begin{aligned} & \frac{p_{b,x}} {\rho_w} = - gh\frac{\partial z}{\partial x} = ghS_{0x}, \\ & \frac{p_{b,y}} {\rho_w} = -gh \frac{\partial z}{\partial y}= ghS_{0y} \end{aligned}\]

y las pérdidas por fricción se escriben en términos del coeficiente de rugosidad de Manning \(n\)

\[\begin{aligned} \frac{\tau_{b,x}} {\rho_w}=g h S_{fx} \quad \text{with:} \quad S_{fx}= \frac{n^2u \sqrt{u^2+v^2}}{h^{4/3}} \\ \frac{\tau_{b,y}} {\rho_w}=g h S_{fy} \quad \text{with:} \quad S_{fy}= \frac{n^2v\sqrt{u^2+v^2}}{h^{4/3}} \end{aligned}\]

Los términos de intercambio neto entre el flujo y el lecho erosionable \(\mathbf{R}\), de carácter volumétrico, se definen como

\[\mathbf{R}= \left(\begin{array}{c} \sum\limits_{p=1}^{N_p} (\xi_p\, R_p) \\ 0 \\ 0 \\ R_1 \\ \vdots \\ R_{N_p} \\ -\sum\limits_{p=1} ^{N_p} (\xi_p\, R_p) \end{array}\right)^T\]

donde \(R_p\) es el flujo sólido neto de intercambio entre el flujo de la mezcla y la capa de lecho erosionable para la \(p\)-ésima fracción de sedimento.

Leyes de transporte de sedimentos¶

Dos formas diferentes de transporte de sedimentos gobiernan la dinámica del lecho móvil considerada en RiverFlow2D: el transporte en suspensión y el transporte por arrastre de fondo. Ambos pueden coexistir o uno de ellos puede ser dominante.

Como cada ley de transporte de sedimentos se deriva de diferentes conjuntos de datos de laboratorio y de campo, se considera un parámetro de calibración en forma de factor de corrección para ajustar los resultados numéricos.

Transporte por arrastre de fondo¶

Cuando el arrastre de fondo es el mecanismo dominante de transporte de sedimentos y la influencia del transporte en suspensión es despreciable, el sistema se convierte a su vez en la siguiente forma Conservación de la masa del agua \(\(\frac{\partial{(h)}}{\partial{t}}+ \frac{\partial{(hu)}}{\partial{x}} + \frac{\partial{(hv)}}{\partial{y}}=0\)\)

Conservación del momento del agua en la dirección \(x\) \(\(\frac{\partial {(hu)}}{\partial t} + \frac{\partial {\big(hu^{2}+(1/2)gh^{2}\big)}}{\partial x} + \frac{\partial{(huv)}}{\partial{y}} = \frac{p_{bx}}{\rho_w}-\frac{\tau_{bx}}{\rho_w}\)\)

Conservación del momento del agua en la dirección \(y\) \(\(\frac{\partial {(hv)}}{\partial t} + \frac{\partial{(huv)}}{\partial{x}}+\frac{\partial {\big(hv^{2}+(1/2)gh^{2}\big)}}{\partial y} = \frac{p_{by}}{\rho_w}-\frac{\tau_{by}}{\rho_w}\)\)

Cambios en la elevación del lecho \(\(\frac{\partial}{\partial t} \left( \sum_{p=1} ^{N_p} z_p \right) + \frac{\partial}{\partial x} \left( \sum_{p=1} ^{N_p} \xi_p\, q_{bp,x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \sum_{p=1} ^{N_p} \xi_p\, q_{bp,y} \right) = 0\)\)

El módulo de la tasa de transporte por arrastre de fondo, \(q_{bp}\), para la \(p\)-ésima clase de tamaño de sedimento se define como

\[q_{bp}=\sqrt{q_{bp,x}+q_{bp,y}}\]

y se calcula como

\[q_{bp} = f_{bp}\, \Phi_p\, \sqrt{g(s_p-1)d_{50p}^3}\]

donde \(f_{bp}\) es la fracción en la capa de transporte, \(s_p=\rho_{sp}/\rho_w\) es la relación de densidades, \(\rho_{sp}\) es la densidad del sedimento y \(d_{50p}\) es el diámetro mediano para la \(p\)-ésima clase de tamaño de sedimento.

El parámetro adimensional \(\Phi_p\) para la \(p\)-ésima clase de tamaño de sedimento se calcula mediante una ley empírica. La tabla recopila las fórmulas implementadas en la versión actual de RiverFlow2D. Para mayor claridad, se ha omitido el subíndice \(p\) en la formulación empírica del transporte por arrastre de fondo, donde \(d_{90}\), \(d_{50}\) y \(d_{30}\) son los diámetros de grano para los cuales el \(90\%\), \(50\%\) y \(30\%\) del peso de una muestra no uniforme son más finos, respectivamente, \(\theta\) es el esfuerzo de Shields adimensional, \(\theta_c\) es el valor crítico del esfuerzo de Shields para el inicio del movimiento y \(\theta_c^S\) es el esfuerzo crítico de Shields expresado por Smart (1984).

El esfuerzo de Shields se calcula como

\[\theta = \frac{|\tau_b|}{(\rho_s-\rho_w)\,g\,d_{50}}\]

siendo \(|\tau_b|\) el módulo del esfuerzo cortante generado en el fondo por la rugosidad del lecho, que se tiene en cuenta mediante el coeficiente de Manning \(n\) y se calcula como

\[|\tau_b| = \rho_w\, h \frac{n^2\, (u^2+v^2)}{h^{4/3}}\]

Meyer-Peter: Mueller (1948); \(8\left(\theta-\theta_c\right)^{3/2}\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Ashida Michiue (1972): \(17\left(\theta-\theta_c\right)\left(\sqrt\theta-\sqrt\theta_c\right)\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Engelund and Fredsøe (1976): \(18.74\left(\theta-\theta_c\right)\left(\sqrt\theta-0.7\sqrt\theta_c\right)\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Fernandez-Luque and van Beek (1976): \(5.7\left(\theta-\theta_c\right)^{3/2}\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Parker fit to Einstein (1979): \(11.2\left(1-\theta/\theta_c\right)^{9/2}\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Smart (1984): \(4\left(d_{90}/d_{30}\right)^{0.2}S_0^{0.6}C\theta^{1/2}\left(\theta-\theta_c^5\right)\); \(d_{30}\),\(d_{50}\),\(d_{90}\),\(\theta_c\),\(\theta_c^S\),\(\rho_s\)
Nielsen (1992): \(12\theta^{1/2}\left(\theta-\theta_c\right)\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Wong: \(4.93\left(\theta-\theta_c\right)^{1.6}\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Wong: \(3.97\left(\theta-\theta_c\right)^{3/2}\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)
Camenen-Larson: \(12\theta^{3/2}exp\left(-4.5\theta_c/\theta\right)\); \(d_{50}\),\(\theta_c\),\(\rho_s\)

La suma \(\sum_{p=1}^{N_p} z_p\) puede considerar un suelo heterogéneo, donde pueden coexistir diferentes fracciones de material. Para tener en cuenta esta heterogeneidad, cada caudal de transporte de sedimentos (\(q_{bp,x}\),\(q_{bp,y}\)) asociado a la \(p\)-ésima clase de tamaño de sedimento se multiplica por su fracción de suelo correspondiente \(f_{bp}\). Por lo tanto, es necesario definir la fracción de cada clase de tamaño de sedimento en la capa del lecho.

Transporte de sedimentos en suspensión¶

Cuando el transporte en suspensión desempeña el papel principal en la movilización del lecho, el término de arrastre de fondo puede omitirse y el sistema se convierte a su vez en la siguiente forma Conservación de la masa de la mezcla \(\(\frac{\partial{(h)}}{\partial{t}}+ \frac{\partial{(hu)}}{\partial{x}} + \frac{\partial{(hv)}}{\partial{y}}=\sum\limits_{p=1}^{N_p} \xi_p\, R_p\)\)

Conservación del momento de la mezcla en la dirección \(x\) \(\(\frac{\partial {(hu)}}{\partial t} + \frac{\partial {\big(hu^{2}+(1/2)gh^{2}\big)}}{\partial x} + \frac{\partial{(huv)}}{\partial{y}} = \frac{p_{bx}}{\rho_w}-\frac{\tau_{bx}}{\rho_w}\)\)

Conservación del momento de la mezcla en la dirección \(y\) \(\(\frac{\partial {(hv)}}{\partial t} + \frac{\partial{(huv)}}{\partial{x}}+\frac{\partial {\big(hv^{2}+(1/2)gh^{2}\big)}}{\partial y} = \frac{p_{by}}{\rho_w}-\frac{\tau_{by}}{\rho_w}\)\)

Conservación de la masa de sedimento en suspensión para la \(p\)-ésima clase de tamaño \(\(\frac{\partial{(h\phi_p)}}{\partial{t}} + \frac{\partial{(hu\phi_p)}}{\partial{x}} + \frac{\partial{(hv\phi_p)}}{\partial{x}}= R_{p}\)\)

Cambios en la elevación del lecho \(\(\frac{\partial}{\partial t} \left( \sum_{p=1} ^{N_p} z_p \right) = - \sum\limits_{p=1} ^{N_p} \xi_p\, R_p\)\)

donde el flujo de intercambio neto entre el flujo de la mezcla y la capa del lecho para la \(p\)-ésima clase de tamaño de sedimento, \(R_p\), se calcula como

\[R_p = A_{bp}\, (E_p-D_p) = A_{bp}\, \omega_{mp}\, (\phi_{p}^* - \phi_{p} )\]

donde \(E_p\) y \(D_p\) son las tasas específicas de incorporación y deposición para la \(p\)-ésima clase de sedimento, respectivamente, y el factor \(A_{bp}\) denota el área expuesta para la \(p-\)ésima clase de sedimento en la capa superior del lecho erosionable, cumpliendo \(\sum_{p=1}^{N_p} A_{bp}=1\). Las tasas de incorporación y deposición se calculan como \(E_p = \omega_{mp}\, \phi_{p}^*\) y \(D_p = \omega_{mp}\, \phi_{p}\), respectivamente, siendo \(\phi_{*p}\) la concentración sólida de equilibrio o de capacidad y \(\omega_{mp}\) la velocidad de sedimentación real de la \(p\)-ésima clase de sedimento en la mezcla de flujo cargada de sedimentos, ambas obtenidas mediante leyes empíricas. El término \(\phi_p\) contiene la información sobre la masa de sedimento en suspensión de la \(p\)-ésima clase de tamaño que se transporta realmente. En todas ellas, los parámetros de entrada son la densidad del sedimento y el diámetro de grano de la \(p\)-ésima clase de tamaño.

Cabe destacar que las leyes de intercambio de sedimentos se han derivado para una sola partícula que cae en agua clara y en condiciones estacionarias. Por tanto, en caso de considerar una situación transitoria con una concentración de sedimentos en la columna de flujo, debe tenerse en cuenta la influencia de las partículas cercanas, ya que puede reducir considerablemente la velocidad de caída en comparación con el agua clara. Este efecto, conocido como sedimentación impedida, se incluye en las ecuaciones calculando la velocidad de sedimentación real \(\omega_{mp}\) para cada clase de tamaño de sedimento en el flujo de la mezcla de la siguiente manera:

\[\omega_{mp}=\begin{cases} \alpha_{\omega p} \left(1-\frac{\phi_0}{2\sqrt{d_{50p}}}\right)^3 \omega_{sp}, & \text{if } \phi_0>2\sqrt{d_{50p}} \\ \alpha_{\omega p} \left(1-\phi_0\right)^4 \omega_{sp}, & \text{otherwise} \end{cases}\]

donde \(\alpha_{\omega p}\) es un parámetro de ajuste definido por el modelador, \(phi_0=\sum\limits_{p=1} ^{N_p} \phi_p\) tiene en cuenta la concentración total en el flujo de la mezcla y \(\omega_{sp}\) es la velocidad de sedimentación teórica de una sola partícula de sedimento en agua clara y \(d_{50p}\) es el diámetro mediano de cada clase de sedimento. La tabla recopila las fórmulas consideradas en esta versión de RiverFlow2D para el cálculo de la velocidad de sedimentación de cada clase de sedimento en agua clara \(\omega_{sp}\). En todas ellas, los parámetros de entrada necesarios son la densidad del sedimento y el diámetro mediano de cada clase de tamaño. Para mayor claridad, se ha omitido el subíndice \(p\) en la formulación empírica.

Rubey (1933): \(\omega_s = F\sqrt{\left(\frac{\rho_s}{\rho_w}-1\right)gd_{50}}\); If \(d_{50}\) \(>\) 1 mm, \(F\) = 0.79, otherwise \(F=\left(\frac{2}{3}+\frac{36\nu^2}{gd_{50}^3\left(\rho_s/\rho_w -1\right)}\right)^{0.5}-\left(\frac{36\nu^2}{gd_{50}^3\left(\rho_s/\rho_w -1\right)}\right)^{0.5}\)
Zhang (1961): \(\omega_s = \sqrt{\left(13.95\frac{\nu}{d_{50}}\right)^2+1.09\left(\frac{\rho_s}{\rho_w}-1\right)gd_{50}}-13.95\frac{\nu}{d_{50}}\); Valid for a wide range of \(d_{50}\)
Zanke (1977): \(\omega_s = 10\frac{\nu}{d_{50}}\left(\left(1+0.01\left(\frac{\rho_s}{\rho_w}-1\right)\frac{gd_{50}^3}{\nu^2}\right)^{0.5}-1\right)\)
Van Rijn (1984): \(\omega_s = \left(\frac{1}{18} \frac{\rho_s - \rho_w}{\rho_w} g\frac{d^{2}_{s}}{\nu}\right)\); \(d_{50}\) \(<\) 0.1 mm
Raudkivi (1990): \(\omega_s =\left(\frac{\left(2/3\right)\left(\rho_s/\rho_w -1\right)gd_{50}^2}{\nu}-32\right)\frac{\nu}{1.2d_{50}}\); \(d_{50}\) \(>\) 1 mm
Julien (1995): \(\omega_s =\left(\frac{\left(2/3\right)\left(\rho_s/\rho_w -1\right)gd_{50}^2}{\nu}-24\right)\frac{\nu}{1.5d_{50}}\)
Cheng(1997): \(\omega_s =\frac{\nu}{d_{50}}\left(\sqrt{25+1.2D_*^2}-5\right)^{1.5}\); \(D_*\) = \(d_{50}\left(\left(\rho_s/\rho_w -1\right)g/\nu^2\right)^{1/3}\)
Jiménez-Madsen (2003): \(\omega_s = (C_1+C_2S_*)\sqrt{(s-1)gd_{50}}\); \(C_1\), \(C_2\) and \(S_*\) as in Jiménez-Madsen
Wu-Wang(2006): \(\omega_s\) = \(\frac{M\nu}{Nd_s}\left(\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{4N}{3M^2}D_*^3\right)^{1/n}}-0.5\right)^n\); \(M\), \(N\) and \(n\) as in Wu and \(D_*\) = \(d_{50}\left(\left(\rho_s/\rho_w -1\right)g/\nu^2\right)^{1/3}\)

Fórmulas de transporte en suspensión de capacidad¶

Como se ha mencionado anteriormente, la concentración de equilibrio \(\phi_{p}^*\) que aparece en se obtiene para cada clase de tamaño de sedimento \(p\) como

\[\phi_{p}^*=\frac{q_{sp}^*}{h\, U}\]

donde \(U = \sqrt{u^2+v^2}\) es el módulo de la velocidad del flujo y \(q_{*sp}\) es la tasa de transporte sólido en suspensión de capacidad, que se estiman utilizando una de las siguientes relaciones empíricas. Para mayor claridad, se ha omitido el subíndice \(p\) en las leyes empíricas.

Bagnold (1966, ) consideró que el esfuerzo cortante es proporcional a la velocidad del flujo y estableció la siguiente fórmula,

\[q_{s}^* = 0.01\frac{\rho_s}{\rho_s-\rho_w}\frac{\tau_b\,U^2}{\omega_s}\]

siendo \(\tau_b\) el esfuerzo cortante generado en el fondo por la rugosidad del lecho, que se calcula mediante.
Van Rijn (1984, ) propuso calcular el transporte en suspensión de equilibrio integrando el flujo de sedimentos dentro de la capa donde la suspensión desempeña un papel principal, es decir, entre el término \(h_s\) y \(h\),

\[q_{s}^* = \int\nolimits_{h_s}^{h} \phi_m\, U\ dh'\]

donde \(q_{s}^*\) se expresa en volumen por unidad de tiempo, y los términos \(\phi_m\) y \(h_s\) se definieron de la siguiente manera

\[\phi_m = \phi_s \left(\frac{\frac{h}{h^{'}}-1}{\frac{h}{h_s}-1}\right)^{\omega_s/(k U_*)}\]

con

\[\phi_s = \frac{0.117}{d_{50}}\left(\frac{\nu^2}{(s - 1)g}\right)^{1/3}\left(\frac{\theta}{\theta_c}-1\right)\]

\[h_s = 0.3\, d_{50} \left(d_{50}\left(\frac{(s - 1) g}{\nu^2}\right)^{1/3}\right)^{0.7}\sqrt{\frac{\theta}{\theta_c}-1}\]

donde \(\theta\) es el esfuerzo de Shields adimensional calculado mediante , \(\theta_c\) es el parámetro crítico de Shields, \(d_{50}\) es el diámetro mediano del sedimento, \(s\) es la relación de densidades y \(\nu\) es la viscosidad cinemática del agua.

Composición de la capa activa¶

La exposición de cada clase de sedimento en la capa superior del lecho erosionable, conocida como capa activa, gobierna el intercambio de material sólido entre el transporte por arrastre de fondo y el transporte en suspensión. Esta versión de RiverFlow2D incluye dos modelos para la composición de la capa activa:

Modelo de fracción fija: La composición de la capa superior del lecho erosionable no varía con respecto al sustrato definido por el usuario. Por tanto, dada la fracción de cada clase de sedimento en el sustrato \(F_{sp}\), que cumple \(\sum_{p=1}^{N_p} F_{sp}=1\), la composición del caudal de arrastre de fondo y el término de intercambio en suspensión se estiman como

\[\begin{aligned} f_{bp}&=F_{sp} \\ A_{bp}&=\begin{cases} F_{sp}, & \text{if } E_p-D_p > 0 \\ 1, & \text{otherwise} \end{cases} \end{aligned}\]
Modelo de capa activa: El modelo de capa activa proporciona un enfoque más complejo. Los sedimentos de la capa superior del lecho erosionable pueden intercambiarse libremente con la capa de transporte por arrastre de fondo, los sedimentos en suspensión del flujo y el sustrato subyacente. Por tanto, la composición de esta capa activa evoluciona según la ecuación

\[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} (f_{ap} \eta_a) &= -\xi_p \left( \frac{\partial q_{bp,x}}{\partial x} + \frac{\partial q_{bp,y}}{\partial y} \right) \\ &\quad - \big(\xi_p R_p\big) - f_{ep} \frac{\partial z_e}{\partial t} \end{aligned}\]

siendo \(\eta_a\) el espesor de la capa activa y \(f_{ap}\) la fracción de la \(p\)-ésima clase de sedimento en la capa activa, que cumple \(\sum_{p=1}^{N_p} f_{ap}=1\), y \(z_e\) denota la interfaz entre la capa activa y el sustrato subyacente. El espesor de la capa activa se estima aquí como una función del diámetro máximo del sedimento y de la altura de la forma del lecho, mientras que la variación temporal de la interfaz \(\partial z_e/\partial t\) se aproxima mediante el cambio del nivel global del lecho \(\partial z/\partial t\). El término \(f_{ep}\) denota la fracción de la \(p\)-ésima clase de sedimento que se intercambia a través de la interfaz \(z_e\), cumpliendo \(\sum_{p=1}^{N_p} f_{ep}=1\), y se estima aquí como

\[f_{ep}=\begin{cases} F_{sp}, & \text{if } \partial z_e / \partial t < 0 \\ \beta_a f_{ap} + (1-\beta_a) \phi_p/\phi_0, & \text{otherwise} \end{cases}\]

donde \(\beta_a\) es un parámetro de ponderación de ajuste establecido en 0.6 en RiverFlow2D y \(\phi_p/\phi_0\) representa la concentración relativa de la \(p\)-ésima clase de sedimento en el transporte en suspensión.

La composición del caudal de arrastre de fondo y el término de intercambio en suspensión se estiman como

\[\begin{aligned} f_{bp}&=f_{ap} \\ A_{bp}&=\begin{cases} \dfrac{f_{ap}/d_{50p}}{\sum_{p=1}^{N_p} f_{ap}/d_{50p}}, & \text{if } E_p-D_p > 0 \\ 1, & \text{otherwise} \end{cases} \end{aligned}\]

Condiciones de contorno para el modelo de sedimentos en suspensión¶

Al utilizar el modelo de sedimentos en suspensión, el usuario debe imponer la concentración volumétrica de cada fracción de sedimento en todos los contornos de entrada. Estos datos deben incluirse en el mismo archivo que establece las series temporales en cada entrada. Por ejemplo, si se seleccionan dos fracciones de sedimento y BCType=6, donde la entrada se establece como caudal frente al tiempo, un archivo típico sería el siguiente:

3 0 1000. 0.1 0.2 2 67000. 0.1 0.2 100 67000. 0.1 0.2

La primera columna es el tiempo en horas. Hay 3 tiempos: 0, 2 y 100 horas. La segunda columna es el caudal de agua (1000, 67000, 67000). A continuación hay dos columnas que deben contener la concentración volumétrica de sedimento \(\phi_p\) para cada fracción dada.

Condiciones de contorno para el modelo de arrastre de fondo¶

Proporcionar únicamente el caudal de entrada de agua¶

Al utilizar el modelo de arrastre de fondo, el usuario puede imponer únicamente el caudal de agua y dejar que el modelo calcule la entrada de sólidos. Esta es una función útil cuando no se dispone de datos del caudal sólido. En ese caso, el modelo determinará el caudal sólido para cada clase de sedimento basándose en las condiciones locales del flujo y en la fórmula de arrastre de fondo seleccionada, lo que puede ser una buena aproximación en muchas aplicaciones.

En esta opción, se selecciona la condición de contorno Discharge vs. Time (BCType=6) y se proporciona una tabla que contiene únicamente el tiempo y el caudal de agua. Un archivo típico sería el siguiente:

3 0 1000. 2 67000. 100 67000.

La primera columna es el tiempo en horas. Este archivo indica que hay 3 tiempos: 0, 2 y 100 horas. La segunda columna es el caudal de agua (1000, 67000, 67000). No serán necesarias otras columnas.

Entrada de caudal de agua y sedimentos¶

Al utilizar el modelo de arrastre de fondo, el usuario puede imponer el caudal de agua y la entrada volumétrica de arrastre de fondo. En este caso, la entrada de sedimentos debe proporcionarse para cada fracción de sedimento en todas las entradas. Estos datos deben incluirse en el mismo archivo que establece las series temporales en cada entrada. Por ejemplo, si se seleccionan dos fracciones de sedimento y BCType=26, un archivo típico sería el siguiente:

3 0 1000. 0.005 0.002 2 67000. 0.005 0.002 100 67000. 0.005 0.002

La primera columna es el tiempo en horas. Hay 3 tiempos: 0, 2 y 100 horas. La segunda columna es el caudal de agua (1000, 67000, 67000). A continuación hay dos columnas que contienen la entrada volumétrica de arrastre de fondo para cada clase de sedimento dada.

El caudal de arrastre de fondo debe indicarse en m\(^3\)/s cuando se utilizan unidades métricas y en ft\(^3\)/s para unidades inglesas.

Condiciones de contorno para el modelo combinado de arrastre de fondo y transporte en suspensión¶

Al utilizar conjuntamente los modelos de arrastre de fondo y de sedimentos en suspensión, el usuario debe imponer la concentración de sedimentos en suspensión \(\phi_p\) y la entrada volumétrica de arrastre de fondo para cada fracción de sedimento en todas las entradas. Estos datos deben incluirse en el mismo archivo que establece las series temporales en cada entrada. Por ejemplo, si se seleccionan dos clases de sedimento y BCType=26, un archivo típico de condiciones de contorno de entrada sería el siguiente:

3 0 1000. 0.1 0.2 0.005 0.002 2 67000. 0.1 0.2 0.005 0.002 100 67000. 0.1 0.2. 0.005 0.002

La primera columna es el tiempo en horas. Este archivo indica que hay 3 tiempos: 0, 2 y 100 horas. La segunda columna es el caudal de agua (1000, 67000, 67000). La tercera y cuarta columnas son la entrada de caudal sólido por arrastre de fondo para cada clase dada. Finalmente, la quinta y sexta columnas representan la concentración volumétrica de sedimento \(\phi_p\) para cada clase.

El caudal de arrastre de fondo debe indicarse en m\(^3\)/s cuando se utilizan unidades métricas y en ft\(^3\)/s para unidades inglesas.

Solución numérica de volumen finito del transporte de sedimentos¶

El sistema de ecuaciones se integra en un volumen o celda de la cuadrícula \(\Omega\) mediante el teorema de Gauss:

\[\frac {\partial} {\partial t} \int_{\Omega} \mathbf{U}d\Omega + \oint_{ \partial \Omega } \mathbf{En} dl = \int_{\Omega} \mathbf{S}d \Omega + \int_{\Omega} \mathbf{R}d \Omega\]

donde \(\mathbf{n}=(n_x,n_y)\) es el vector normal unitario exterior al volumen \(\Omega\).

Para obtener una solución numérica del sistema, dividimos el dominio en celdas computacionales, \(\Omega_i\), utilizando una malla fija en el tiempo, y se aplica a cada celda

\[\begin{array}{cc} \displaystyle{\frac {\partial} {\partial t} \int_{\Omega_i} \mathbf{U} d\Omega + \sum_{k=1} ^{NE} \int_{e_{k}}^{e_{k+1}} (\mathbf{En})^\downarrow_{ k} dl_k = \int_{\Omega_i} \mathbf{S}d \Omega + \int_{\Omega_i} \mathbf{R}d \Omega } \\ \end{array}\]

siendo \((\mathbf{En})^\downarrow_{ k}\) el valor de la función de flujo de interfaz a través del borde \(k\) que debe definirse, \(\mathbf{n}_{k}=(n_x,n_y)\) el vector normal unitario exterior al borde \(k\) de la celda, y \(NE\) el número de bordes de la celda \(i\). La figura siguiente muestra un esquema de los flujos.

Suponiendo una representación a trozos de las variables conservadas

\[\mathbf{U}_{i}^{n}=\frac{1}{A_i} \int_{\Omega_i} \mathbf{U}(x,y,t^{n})d\Omega\]

La ecuación se escribe como

\[\frac {\partial} {\partial t} \int_{\Omega_i} \mathbf{U}d\Omega + \sum_{k=1} ^{NE} (\mathbf{En})^\downarrow_{ k} l_k = \int_{\Omega_i} \mathbf{S}d \Omega + \int_{\Omega_i} \mathbf{R}d \Omega\]

donde \(l_k\) es la longitud correspondiente del borde. El sistema se resuelve siguiendo la teoría del solucionador de Riemann de Roe y utilizando la discretización contra el viento.

Introducción de datos para el modelo de transporte de sedimentos en el DIP¶

Para introducir datos para una simulación de transporte de sedimentos, utilice el panel Sediment Transport.

Supuestos y consideraciones del modelo de transporte de sedimentos¶

Los principales supuestos involucrados en la versión actual del modelo RiverFlow2D son:

Al utilizar la opción de arrastre de fondo, la tasa de transporte de sedimentos es igual a la capacidad de transporte en condiciones de equilibrio.
Cada tamaño de partícula de sedimento se considera mediante un único diámetro característico (\(D_{50}\)) para todas las fórmulas, excepto la de Smart (1984), que considera tres tamaños (\(D_{30}\), \(D_{50}\) y \(D_{90}\)).
El modelo de fracción fija garantiza la conservación del lecho de todas las fracciones por separado.
El modelo de capa activa puede tener en cuenta los efectos de acorazamiento del lecho, pero no garantiza la conservación de todas las fracciones del lecho por separado.
El modelo no considera la socavación local, como la socavación alrededor de pilas, donde el flujo tridimensional determina las tasas de transporte de sedimentos y de cambio del lecho.
Al asignar la elevación máxima de erosión del lecho, el modelo bloquea la erosión adicional cuando la elevación del lecho alcanza el límite indicado.

Note

Dado que las formulaciones del caudal de arrastre de fondo, del caudal de sedimentos en suspensión y de la velocidad de sedimentación se basan en leyes deterministas respaldadas por experimentación, se han considerado factores de ajuste para cada una de ellas. Por tanto, el modelo permite calibrar el transporte de sedimentos calculado para cada situación particular.