Modelo de transporte de contaminantes: PL

El estudio de los fenómenos de transporte de solutos y de la mezcla en ríos se ha convertido en una preocupación importante en problemas hidráulicos y ambientales. El modelo de transporte de contaminantes de HydroBID Flood proporciona una herramienta para calcular concentraciones de múltiples contaminantes en diversas situaciones fluviales y estuarinas.

Un soluto o contaminante se define como cualquier sustancia que es transportada por advección con el agua y está bien mezclada en la dirección vertical. La simulación del transporte de contaminantes suele centrarse en determinar la evolución temporal de la concentración de un soluto dentro de un sistema hidrodinámico complejo; es decir, dada la concentración del soluto en un tiempo y espacio específicos, el modelo determina la distribución espacial de sus concentraciones en tiempos futuros. Este proceso físico se representa mediante la ecuación de advección-dispersión y puede incorporar el efecto de la reacción con el agua y con otros solutos.

Ecuaciones del modelo

Aunque HydroBID Flood PL puede manejar simultáneamente múltiples contaminantes, para mayor claridad esta sección presenta el transporte de un solo soluto acoplado al modelo 2D. Las ecuaciones de transporte de contaminantes se expresarán en forma conservativa, suponiendo que las velocidades y la profundidad del agua pueden no variar suavemente en el espacio y el tiempo.

En consecuencia, el modelo 2D de aguas poco profundas con transporte de solutos puede escribirse como un único sistema acoplado:

\[\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}+\frac{\partial \mathbf{F} \mathbf{(U)}}{\partial x}+\frac{\partial \mathbf{G} \mathbf{(U)}}{\partial y}=\mathbf{H(U)} + \mathbf{R(U)} + \mathbf{D(U)}\]

donde

\[\begin{array}{c} \mathbf{U}=\left( h , q_x , q_y , h\phi \right)^{T} \quad \\\\ \mathbf{F}=\left( q_x, \frac {q_x2}{h} + \frac {1}{2} g h2 , \frac {q_x q_y}{h} , h \phi u \right)^{T}, \qquad \mathbf{G}=\left( q_y, \ \frac {q_x q_y}{h}, \ \frac {q_y2}{h} + \frac {1}{2} g h2 , \ h \phi v \right)^{T} \\\\ \mathbf{H}=\left( 0 , \; g h (S_{0x}-S_{fx}) , \; g h (S_{0y}-S_{fy}) , \; 0\right)^{T} \\ \end{array}\]

y \(\phi\) es la concentración de soluto promediada en profundidad. Los términos fuente asociados a la ecuación de transporte de solutos se expresan como sigue:

\[\mathbf{R}=\left( 0 , 0, 0, -Kh\phi\right)^{T} \qquad \mathbf{D}=\left( 0 , 0, 0, \overrightarrow{\nabla}(D h \overrightarrow{\nabla} \phi) \right)^{T}\]

donde \(K\) es la constante de absorción y \(D\) es una matriz de difusión empírica.

Solución numérica del transporte de contaminantes por volúmenes finitos

En HydroBID Flood, el transporte de solutos se ha considerado dejando de lado los términos de difusión. Sin embargo, se han desarrollado muchas estrategias, como dividir y calcular por separado los términos de advección y difusión o resolver la difusión implícitamente, para evitar pasos de tiempo muy pequeños debido a la combinación de los números de CFL y de Peclet.

La resolución numérica de la ecuación de transporte de solutos mediante un método explícito de volúmenes finitos suele realizarse resolviendo la concentración promediada en profundidad por separado de las ecuaciones de aguas poco profundas, es decir, mediante un algoritmo desacoplado más sencillo. Una vez resueltas las ecuaciones hidrodinámicas, las sustancias o solutos correspondientes se transportan por advección utilizando el campo de flujo calculado previamente.

Para obtener un método completamente conservativo, HydroBID Flood considera el sistema completo, incluidas las ecuaciones hidrodinámicas y de transporte. Matemáticamente, el sistema completo conserva la propiedad de hiperbolicidad, lo que implica la existencia de una matriz jacobiana de \(4 \times 4\) para el modelo 2D. Sobre esta base puede aplicarse el procedimiento directo descrito anteriormente, permitiendo una linealización local de Roe y expresando las contribuciones que llegan a la celda como una suma de ondas. Para garantizar la conservación y valores acotados de la concentración final de soluto incluso en casos extremos, en HydroBID Flood se implementó una redistribución conservativa de los flujos máximos de soluto propuesta en.

Según , una vez formulada correctamente la parte hidrodinámica, se utiliza un flujo numérico simple \(q^\downarrow\), directamente relacionado con la linealización de Roe, que puede desacoplar completamente el transporte de solutos del sistema hidrodinámico de forma conservativa. Por tanto,

\[q^\downarrow_{k} = q_i + \sum_{m=1}^3 \left(\widetilde{\lambda}^- \ \widetilde{\gamma} \ \widetilde{\mathbf{e}}_1 \right)^m_{k}\]

donde \(q_i=(h \mathbf{u n})_i\) y el esquema numérico desacoplado para la ecuación de transporte de solutos se escribe como:

\[(h\phi)^{n+1}_{i} = (h\phi)^{n}_{i} - \frac{\Delta t }{A_i } \sum_{k=1}^{N_E} ( q \phi)^{\downarrow}_{k} l_k\]

donde

\[\phi^\downarrow_{k}=\left\{ \begin{array} {ccc} \phi_{i} & if & q_k^\downarrow > 0\\ \phi_{j} & if & q_k^\downarrow < 0 \end{array} \right.\]

en la celda \(i\). La figura muestra un esquema de los flujos.

Desde el punto de vista físico, la nueva masa de soluto en una celda fija puede interpretarse como un intercambio de volúmenes de agua con cierta concentración a través de las paredes vecinas, que se mezclan (método de tipo Godunov de volúmenes finitos) con la masa existente en el instante anterior, como se muestra en la figura siguiente. Según esta filosofía, las celdas de contorno de salida requieren un tratamiento especial al aplicar esta técnica para extraer la masa de soluto correspondiente a través de las paredes de contorno. Por esta razón, es necesario definir \(q^{\downarrow}=\left(h\bf{u}\cdot\bf{n}\right)_{BC}\) y \(\phi^{\downarrow}=\phi_{BC}\) en la pared de contorno e incluir esta contribución al actualizar la celda de contorno BC (véase la figura siguiente).

Como se muestra, la formulación se reduce a calcular una clase de flujo numérico \(q^{\downarrow}\) utilizando los valores promediados ya calculados en cada lado. Además de garantizar una conservación exacta y soluciones acotadas y libres de oscilaciones (Murillo et al., 2012), esta sencilla discretización reduce considerablemente el número de cálculos necesarios para el sistema completamente acoplado.

Introducción de datos para el modelo de transporte de contaminantes

Para introducir datos para una simulación de transporte de contaminantes, utilice el panel Pollutant Transport. Asegúrese también de que la casilla Pollutant Transport esté activa en la pestaña Control Data.

Supuestos del modelo de transporte de contaminantes

Los principales supuestos de la versión actual de HydroBID Flood son los siguientes:

1. No existe un límite predeterminado para el número de contaminantes.
2. Las unidades de concentración de contaminantes son arbitrarias. El usuario puede utilizar concentración volumétrica, mg/l, ppt, ppm o cualquier otra unidad adecuada, siempre que las condiciones de contorno de entrada sean coherentes.
3. Se supone que las interacciones entre solutos y entre cada soluto y el agua son reacciones de primer orden.
4. Todos los contornos de entrada en los que se imponga un caudal o una elevación del agua deben proporcionar una serie temporal de concentración para cada contaminante.